Velocidad de onda en una cuerda · FísicaTensión, densidad lineal y fórmula √(T/μ)
Introducción
La velocidad de un pulso transversal en una cuerda estirada queda determinada por exactamente dos magnitudes: la tensión que mantiene la cuerda tensa y la densidad lineal que resiste la aceleración de cada pequeño segmento. Al combinar la segunda ley de Newton con la geometría de un elemento curvo de cuerda se obtiene v = sqrt(T/μ), donde T es la tensión en newtons y μ es la masa por unidad de longitud en kilogramos por metro. Cualquier otra propiedad de la cuerda, su longitud total, su material o su color, resulta irrelevante una vez que T y μ son conocidas.
La fórmula aparece en acústica e ingeniería mecánica con mucha frecuencia. La afinación de guitarras y pianos, el diseño de cables de alta tensión y la calibración de sensores sísmicos exigen un modelo preciso de la rapidez con que una perturbación viaja a lo largo de un medio unidimensional bajo tensión. En cada caso el ingeniero recurre a la misma expresión de raíz cuadrada. El simulador hace que ambas variables sean ajustables de forma independiente, por lo que la relación no lineal entre T y v es directamente observable en lugar de inferirse solo del álgebra.
La mayoría de las personas supone que duplicar la tensión duplica la velocidad de onda, la misma proporcionalidad lineal que rige tantas otras magnitudes físicas. El indicador de Velocidad de onda contradice esa idea: con μ = 0,020 kg/m, elevar T de 20 N a 80 N, un factor de cuatro, lleva el indicador de 31,6 m/s a 63,2 m/s, un factor de solo dos. Es la raíz cuadrada, no una función lineal, la que conecta la tensión con la velocidad.
La física explicada
La derivación de v = sqrt(T/μ) parte de aislar un segmento curvo corto de cuerda de longitud de arco ds. La tensión T actúa de forma tangencial en ambos extremos y, para desplazamientos pequeños, la componente transversal neta de las dos fuerzas de tensión es igual a T · (ds/R), donde R es el radio de curvatura local. Esa fuerza neta debe igualar la masa del segmento μ · ds multiplicada por su aceleración transversal. Al igualar fuerza con masa por aceleración y reconocer la aceleración como la segunda derivada temporal del desplazamiento se llega directamente a una ecuación de onda cuya velocidad de propagación es sqrt(T/μ). La derivación no requiere elasticidad ni constantes de material más allá de μ, y tampoco asume ninguna forma particular de onda.
Con la configuración predeterminada de T = 20 N y μ = 0,020 kg/m, el indicador de Velocidad de onda muestra 31,6 m/s, en concordancia con sqrt(20/0,020) = sqrt(1000) ≈ 31,623 m/s. El pulso recorre la cuerda de 8 m en 8/31,6 ≈ 0,253 s por trayecto y completa cinco rebotes en unos 2,53 s antes de que la simulación se detenga. Cada rebote se marca con un destello en el extremo correspondiente y el indicador de Rebotes se incrementa en tiempo real.
La curva v(T) del panel derecho muestra la velocidad de onda en función de la tensión para la densidad lineal que tenga el deslizador en ese momento. Su forma cóncava hacia abajo es la firma visual de la ley de raíz cuadrada: pasos iguales en T producen ganancias cada vez menores en v a medida que la tensión crece. El punto de operación activo, el círculo azul relleno sobre la curva, se desplaza a la derecha al aumentar la tensión y sube o baja al cambiar la densidad lineal. Con μ = 0,020 kg/m, pasar de T = 20 N a T = 40 N lleva el indicador de 31,6 m/s a sqrt(40/0,020) = sqrt(2000) ≈ 44,7 m/s, una ganancia de 13,1 m/s. Pasar de T = 40 N a T = 60 N gana solo sqrt(60/0,020) − 44,7 = sqrt(3000) − 44,7 ≈ 54,8 − 44,7 = 10,1 m/s con el mismo incremento de 20 N.
La densidad lineal actúa como freno inercial. Una cuerda más pesada por unidad de longitud se acelera con mayor lentitud bajo la misma fuerza restauradora de tensión, reduciendo v. Con T = 20 N, aumentar μ de 0,020 kg/m a 0,080 kg/m baja el indicador de 31,6 m/s a sqrt(20/0,080) = sqrt(250) ≈ 15,8 m/s, aproximadamente la mitad de la velocidad original, porque la densidad se cuadruplicó y la raíz cuadrada de cuatro es dos.
Ecuaciones clave
Con T = 20 N y μ = 0,020 kg/m se obtiene v = sqrt(20 / 0,020) = sqrt(1000) ≈ 31,6 m/s. El indicador de Velocidad de onda del simulador reporta 31,6 m/s con esas posiciones de deslizadores, confirmando la fórmula con la precisión del indicador. Duplicar T a 40 N da sqrt(40 / 0,020) = sqrt(2000) ≈ 44,7 m/s, un factor de sqrt(2) ≈ 1,41 sobre la referencia, no un factor de 2.
La velocidad se duplica solo cuando la tensión se cuadruplica. Con μ = 0,020 kg/m, T = 20 N produce v ≈ 31,6 m/s y T = 80 N produce v = sqrt(80 / 0,020) = sqrt(4000) ≈ 63,2 m/s. Al fijar el deslizador de tensión en 80 N con densidad lineal en 0,020 kg/m el indicador de Velocidad de onda marca 63,2 m/s, exactamente el doble del valor predeterminado. Ninguna tensión intermedia logra esta duplicación.
Cuadruplicar la densidad lineal reduce la velocidad de onda a la mitad. Con T = 20 N, μ = 0,020 kg/m da 31,6 m/s y μ = 0,080 kg/m da sqrt(20 / 0,080) = sqrt(250) ≈ 15,8 m/s, la mitad del valor original. El simulador lo confirma: mover el deslizador de densidad lineal de 0,020 a 0,080 kg/m baja el indicador de 31,6 m/s a 15,8 m/s en estado previo a la ejecución, sin necesidad de iniciar la simulación para verificar la fórmula estática.
Cada trayecto unidireccional cubre la longitud de la cuerda L = 8 m. Con la configuración predeterminada (T = 20 N, μ = 0,020 kg/m, v ≈ 31,6 m/s), cinco rebotes requieren que el pulso recorra 5 × 2 × 8 = 80 m en total, lo que da un tiempo de parada de 80 / 31,6 ≈ 2,53 s. El indicador de Tiempo alcanza aproximadamente 2,53 s cuando el indicador de Rebotes llega a 5, coincidiendo con esta predicción.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| v | Velocidad de onda | m/s | Rapidez de un pulso transversal a lo largo de la cuerda |
| T | Tensión | N | Fuerza que mantiene la cuerda tensa a lo largo de su longitud |
| μ | Densidad lineal | kg/m | Masa por unidad de longitud de la cuerda |
| L | Longitud de cuerda | m | Fija en 8 m en el simulador |
| t | Tiempo | s | Tiempo de simulación transcurrido mostrado en el indicador de Tiempo |
| n | Contador de rebotes | Número de reflexiones en los extremos, mostrado en el indicador de Rebotes |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué los guitarristas tensan las cuerdas para subir el tono?
El tono depende de la frecuencia de las ondas estacionarias en la cuerda, y esa frecuencia es proporcional a la velocidad de onda dividida entre la longitud de la cuerda. Al tensar la cuerda se eleva T, lo que eleva v = sqrt(T/μ), y con ello sube cada frecuencia resonante en el mismo factor. Un guitarrista que afina la cuerda de Mi agudo pasando de T = 54 N a T = 64 N eleva la velocidad de sqrt(54/0,000385) ≈ 374,9 m/s a sqrt(64/0,000385) ≈ 407,8 m/s, una razón de aproximadamente 1,088, lo que corresponde a poco menos de un semitono en la escala de temperamento igual. El mismo mecanismo actúa en sentido inverso: las cuerdas flojas reducen la velocidad de onda y bajan el tono.
Con T = 20 N y μ = 0,020 kg/m, el indicador de Velocidad de onda del simulador marca 31,6 m/s. Al subir T a 80 N con la misma densidad lineal, el indicador pasa a 63,2 m/s, duplicando exactamente la velocidad y, por tanto, todas las frecuencias resonantes de esa cuerda. En la práctica una cuerda de guitarra no soporta un aumento de tensión cuádruple sin romperse, por lo que los luthiers también emplean calibres distintos, variando μ entre cuerdas para cubrir las frecuencias requeridas sin llegar a tensiones extremas.
¿Cómo eligen los ingenieros el calibre de los alambres para cuerdas de piano?
Un piano abarca más de siete octavas, lo que exige un rango enorme de frecuencias fundamentales. Los ingenieros no pueden conseguir ese rango solo variando la tensión: las cuerdas se romperían en el extremo agudo o quedarían demasiado flojas para vibrar correctamente en el grave. En cambio, la densidad lineal μ se varía sistemáticamente a lo largo del teclado: las cuerdas del bajo se enrollan con cobre para aumentar μ sin incrementar en exceso la longitud, mientras que las del agudo son acero delgado de alta tensión. Aumentar μ reduce la velocidad de onda a tensión constante, bajando la frecuencia fundamental en el factor 1/sqrt(μ).
Una cuerda de bajo con μ = 0,080 kg/m a T = 20 N alcanza v = sqrt(20/0,080) = sqrt(250) ≈ 15,8 m/s. Una cuerda de agudo a la misma tensión pero con μ = 0,008 kg/m alcanza v = sqrt(20/0,008) = sqrt(2500) = 50,0 m/s, aproximadamente tres veces más rápida, una razón de sqrt(0,080/0,008) = sqrt(10) ≈ 3,16. Esta razón de velocidades de tres a uno a igual tensión es directamente verificable en el simulador: fijar μ en 0,080 kg/m muestra 15,8 m/s; cambiarlo a μ = 0,008 kg/m muestra 50,0 m/s. Los diseñadores de pianos aprovechan este control continuo sobre μ para cubrir siete octavas manteniendo las tensiones dentro del rango seguro para la tabla armónica y el bastidor.
¿Por qué duplicar la tensión no duplica la velocidad de onda en una línea de transmisión?
Los cables de transmisión aéreos se comportan mecánicamente como cuerdas bajo tensión, y los ingenieros que encuentran por primera vez la fórmula de velocidad de onda a veces esperan que duplicar la tensión duplique la rapidez de las perturbaciones transversales, lo que reduciría a la mitad el tiempo de propagación de una señal de falla a lo largo de la línea. La ley de raíz cuadrada lo impide: duplicar T multiplica v solo por sqrt(2) ≈ 1,41, un aumento del 41% y no del 100%. Para duplicar la velocidad de onda se necesita cuadruplicar la tensión.
El simulador hace concreta esta no linealidad. Con μ = 0,020 kg/m, T = 20 N produce Velocidad de onda 31,6 m/s. Duplicar la tensión a T = 40 N da sqrt(40/0,020) = sqrt(2000) ≈ 44,7 m/s, un factor de sqrt(2) sobre 31,6 m/s, no un factor de 2. Llegar a 63,2 m/s requiere T = 80 N, confirmando que la velocidad se duplica solo cuando la tensión se cuadruplica. Los diseñadores de cables que necesitan una comunicación de ondas transversales más rápida deben tener en cuenta este rendimiento decreciente al especificar la flecha y la tensión en tendidos de gran luz.
Lecturas adicionales
- Péndulo simple: otro sistema mecánico cuya fuerza restauradora y su inercia se combinan bajo una raíz cuadrada para fijar la frecuencia de oscilación, con paralelos directos con el equilibrio tensión-densidad en las ondas de cuerda.
- Oscilador masa-resorte: el sistema unidimensional análogo donde la rigidez y la masa determinan la frecuencia natural mediante la misma estructura de raíz cuadrada que v = sqrt(T/μ).
- Resorte amortiguado: extiende el modelo masa-resorte para incluir pérdida de energía, mostrando cómo cambia la frecuencia de oscilación al añadir amortiguación, un precursor de la atenuación de ondas en cuerdas reales.