Sistema masa–resorte · FísicaFórmula del período y movimiento armónico
Introducción
Una masa unida a un resorte ideal traza la oscilación más limpia de toda la mecánica clásica. Apartas la masa del equilibrio, la sueltas, y el resorte le entrega una fuerza restauradora proporcional a cuánto se desplazó, lo que produce un balanceo perfectamente sinusoidal que se repite a una sola frecuencia bien definida. El movimiento se llama movimiento armónico simple, y el par masa–resorte es el ejemplo canónico que se usa para definir cualquier otro oscilador que venga después.
Este sistema sostiene todo el currículo de oscilaciones porque casi cualquier vibración física, vista cerca del equilibrio, se comporta como un par masa–resorte. Los átomos en una red cristalina, las moléculas en un enlace químico, la masa sobre la suspensión de un carro y el diafragma de un altavoz obedecen todos a la misma relación entre fuerza restauradora y aceleración. Una vez en mano la fórmula del periodo T = 2π·√(m/k), esos sistemas avanzados se vuelven variantes de una sola ecuación fundacional.
Es fácil convencerse de que jalar la masa más lejos (una amplitud mayor) debería hacer que cada ciclo dure más porque la masa tiene más distancia que recorrer. Lo que ocurre en pantalla es distinto: con k = 10 N/m y m = 1,0 kg, la lectura de Periodo T se mantiene cerca de 1,99 s sin importar si el deslizador de Amplitud está en 1,0 m o en 2,0 m, porque el balanceo más amplio también corre a una rapidez máxima proporcionalmente mayor.
La física explicada
La ley de Hooke afirma que un resorte ideal ejerce una fuerza restauradora F = −k·x, donde x es el desplazamiento desde el equilibrio y k es la constante del resorte en N/m. El signo menos es toda la historia: la fuerza siempre apunta de regreso hacia x = 0, así que una masa jalada por debajo de la línea de reposo es empujada hacia arriba, y una masa comprimida por encima de ella es empujada hacia abajo. Combinando esto con la segunda ley de Newton F = m·a, la ecuación de movimiento es m·ẍ = −k·x, cuya solución es x(t) = A·cos(ωt + φ) con frecuencia angular ω = √(k/m).
Con los deslizadores por defecto de la simulación (k = 10 N/m, m = 1,0 kg, A = 2,0 m, v₀ = 0) la frecuencia angular resulta ser ω = √(10/1) ≈ 3,162 rad/s y el periodo T = 2π/√10 ≈ 1,987 s. La lectura de Periodo T muestra exactamente este valor antes de que arranque la corrida, calculado en vivo a partir de las posiciones de los deslizadores. Soltar la masa desde el reposo en x = 2,0 m significa que la fase φ = 0, así que la trayectoria predicha es el coseno puro x(t) = 2,0·cos(3,162·t), y la lectura de Desplazamiento empieza en 2,000 m y cae suavemente pasando por cero.
La conservación de la energía le da al balanceo su simetría. En el desplazamiento máximo la masa está momentáneamente en reposo, así que toda la energía está almacenada como energía potencial elástica ½·k·x². En el equilibrio el resorte está sin estirar, así que toda la energía es cinética ½·m·v². Con A = 2,0 m y k = 10 N/m el total es E = ½·10·4 = 20,0 J, y esos 20 J se trasladan eternamente entre los dos depósitos en ausencia de amortiguamiento. La rapidez máxima en x = 0 es por tanto vmax = √(2E/m) = √40 ≈ 6,325 m/s.
Como el periodo depende solo del cociente m/k, ni la amplitud ni la velocidad inicial cambian la frecuencia de un resorte Hookeano. Esta propiedad (llamada isocronismo) es la razón por la que los relojes mecánicos se construyeron alrededor de muelles principales en vez de péndulos para el cronometraje portátil. La simulación lo confirma directamente: cambiando el deslizador de Amplitud de 1,0 m a 2,0 m con k y m fijas la lectura de Periodo T sigue clavada en ≈ 1,99 s, mientras que la lectura de Velocidad pico escala linealmente con A.
Ecuaciones clave
Para la amplitud por defecto x = 2,0 m y k = 10 N/m en el momento de soltar: F = −10 · 2,0 = −20 N. El signo menos significa que la fuerza de 20 newtons apunta de regreso hacia el equilibrio, acelerando la masa de 1,0 kg a a = F/m = −20 m/s², la mayor aceleración en cualquier punto del ciclo.
Con k = 10 N/m y m = 1,0 kg: ω = √(10/1) ≈ 3,162 rad/s. Esta es la tasa a la que avanza el argumento del coseno, y aparece tanto en la solución del desplazamiento como en la de la velocidad de abajo.
Para los valores por defecto: T = 2π · √(1,0/10) = 2π/√10 ≈ 1,987 s. La lectura de Periodo T muestra ≈ 1,99 s en la misma configuración, y el regreso cronometrado de la masa a su posición de partida confirma la predicción dentro de la deriva numérica a lo largo de varios ciclos.
Sustituyendo A = 2,0 m y ω = 3,162 rad/s: x(t) = 2,0 · cos(3,162·t). En t = T/4 ≈ 0,497 s el coseno toca cero, así que la lectura de Desplazamiento pasa por ≈ 0 m en ese instante, coincidiendo con la predicción analítica dentro del redondeo.
Para los mismos valores por defecto: vmax = A · ω = 2,0 · 3,162 ≈ 6,325 m/s, alcanzada en x = 0. La lectura de Velocidad alcanza el pico cerca de −6,325 m/s en t ≈ 0,497 s y cerca de +6,325 m/s en t ≈ 1,490 s, coincidiendo con el signo y la magnitud de la predicción seno.
Para los valores por defecto en el instante de soltar: E = ½ · 10 · 2,0² + 0 = 20,0 J. En el cruce por el equilibrio: E = 0 + ½ · 1,0 · 6,325² ≈ 20,0 J. Las dos lecturas tomadas en cualquier otro instante (digamos x ≈ 1,414 m, v ≈ ±4,472 m/s) dan 10,0 + 10,0 = 20,0 J, confirmando la conservación.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| x | Desplazamiento | m | Posición de la masa relativa al equilibrio |
| v | Velocidad | m/s | Tasa de cambio del desplazamiento |
| k | Constante del resorte | N/m | Rigidez, fuerza restauradora por unidad de estiramiento |
| m | Masa | kg | Inercia del objeto unido al resorte |
| A | Amplitud | m | Desplazamiento máximo alcanzado durante el balanceo |
| ω | Frecuencia angular | rad/s | Tasa de avance de fase, ω = √(k/m) |
| T | Periodo | s | Tiempo para una oscilación completa |
| E | Energía mecánica total | J | Suma constante de energía elástica y cinética |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué un carro más pesado se asienta más bajo sobre los mismos resortes de suspensión?
Un resorte típico de suspensión de sedán tiene una rigidez cercana a k = 25.000 N/m, y cada resorte carga aproximadamente una cuarta parte del peso del vehículo. Un carro de 1.200 kg carga cada resorte con 300 kg · 9,81 m/s² = 2.943 N, comprimiéndolo en x = F/k = 2.943/25.000 ≈ 0,118 m, o cerca de 12 cm. Sumar 200 kg de pasajeros y carga eleva la carga a 3.434 N y la compresión estática a 0,137 m, la parte trasera del carro se hunde visiblemente unos pocos centímetros hasta que la fuerza del resorte equilibra el peso añadido.
La simulación demuestra la misma relación entre carga y estiramiento a pequeña escala. Con k = 10 N/m y m = 1,0 kg, soltar desde el reposo en la compresión natural x = m·g/k = 0,98 m produce una lectura de Periodo T cercana a 1,99 s, mientras que duplicar la Masa a 2,0 kg incrementa la compresión estática a 1,96 m y estira el periodo a T = 2π·√(2/10) ≈ 2,81 s. Los ingenieros de suspensión explotan exactamente esta compensación: un resorte más rígido se hunde menos bajo carga pero transmite más dureza del camino al habitáculo.
¿Cómo mantiene la hora con precisión un reloj mecánico de pulsera?
El espiral de un volante es un diminuto sistema masa–resorte de torsión que avanza a una tasa fija fijada por su propio k y m, casi totalmente independiente de qué tan fuerte lo impulse el muelle principal. Un espiral típico oscila a 4 Hz, así que el periodo es T = 0,25 s, fijado por 2π·√(I/κ) donde κ es la rigidez torsional e I es el momento de inercia del volante. La labor del relojero consiste en afinar κ e I para que el producto coincida con el periodo deseado dentro de unas pocas partes por millón.
El isocronismo es lo que hace funcionar esto. Como T depende del cociente m/k y no de la amplitud, el reloj conserva el mismo periodo tanto si el muelle principal está completamente cargado como casi descargado. La simulación lo muestra directamente: con k = 10 N/m y m = 1,0 kg, recorrer el deslizador de Amplitud de 0,5 m a 2,0 m deja la lectura de Periodo T fija en ≈ 1,99 s, mientras que la lectura de Velocidad pico escala linealmente desde ≈ 1,58 m/s hasta ≈ 6,32 m/s.
¿Por qué los edificios altos necesitan amortiguadores de masa sintonizada?
Un rascacielos de 300 metros tiene un periodo fundamental de balanceo cercano a T = 6 s, fijado por su rigidez efectiva y su masa distribuida mediante la misma relación T = 2π·√(m/k) que gobierna a un solo resorte. Cuando las ráfagas de viento contienen energía a esa frecuencia de 0,17 Hz el edificio entra en resonancia, y un balanceo no controlado puede alcanzar amplitudes que mareen a los ocupantes. Un amortiguador de masa sintonizada (un péndulo de acero de varios cientos de toneladas colgado en lo alto de la estructura) está diseñado para oscilar a la misma frecuencia pero en fase opuesta, drenando energía del balanceo del edificio.
La simulación ilustra el paso subyacente de afinación del periodo. Con m = 1,0 kg, subir k de 10 N/m a 40 N/m baja la lectura de Periodo T de ≈ 1,99 s a ≈ 0,99 s, un factor de dos como predice T ∝ 1/√k. Para igualar una frecuencia objetivo, los diseñadores despejan k = (2π/T)²·m para hallar la rigidez de resorte requerida, exactamente como un relojero lo haría para un volante, solo cambian las unidades.
Lecturas adicionales
- Oscilaciones del resorte amortiguado: qué pasa cuando se añade fricción al mismo par masa–resorte, y cómo la amplitud decae exponencialmente mientras el periodo apenas se desplaza.
- Movimiento del péndulo simple: la gravedad reemplaza al resorte como fuerza restauradora, y la fórmula del periodo T = 2π·√(L/g) sigue el mismo patrón √(inercia/rigidez).
- Dinámica del péndulo doble: dos osciladores acoplados cuyos modos normales linealizados se reducen a dos sistemas masa–resorte independientes cerca del equilibrio.