Péndulo simple

Introducción

Un péndulo simple — una masa suspendida de un punto fijo por una cuerda ligera e inextensible — es uno de los sistemas más estudiados de toda la física. Su movimiento regular y repetitivo es una manifestación directa del movimiento armónico simple, y para ángulos pequeños su período depende solo de la longitud de la cuerda y de la aceleración gravitatoria local, no de la masa ni del ángulo de partida. Esto convirtió al péndulo en la base de la medición precisa del tiempo durante siglos.

La física explicada

Cuando un péndulo se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta, dos fuerzas actúan sobre la masa: la tensión a lo largo de la cuerda (que no hace trabajo, solo cambia la dirección) y la gravedad recta hacia abajo. La componente de la gravedad a lo largo del arco — tangencial al balanceo — provee la fuerza restauradora que jala a la masa de regreso hacia el centro. Esta fuerza restauradora es proporcional al seno del ángulo, lo que vuelve a la ecuación de movimiento no lineal en general.

Para ángulos pequeños (típicamente por debajo de unos 15°), sin(θ) se aproxima muy bien por θ en radianes. Esto linealiza la ecuación y produce movimiento armónico simple: la masa oscila a una frecuencia constante, y el período T = 2π√(L/g) es independiente de la amplitud. Esta es la propiedad isócrona — tiempo igual para cada balanceo — que Galileo notó, según se dice, observando una lámpara de catedral oscilar.

Para ángulos grandes la aproximación sin(θ) deja de valer. El período real crece a medida que la amplitud aumenta, porque la fuerza restauradora es más débil de lo que predice la aproximación lineal. El péndulo tarda un poco más en completar cada balanceo cuanto más fuerte lo sueltas. A ángulos muy grandes el movimiento se aleja significativamente del comportamiento armónico simple.

En la realidad, la fricción en el pivote y la resistencia del aire retiran energía del sistema gradualmente, haciendo que la amplitud decaiga con el tiempo — un proceso llamado amortiguamiento. Un péndulo levemente amortiguado se balancea por mucho tiempo antes de detenerse; uno muy amortiguado apenas completa un balanceo.

Ecuaciones clave

Ecuación de movimiento exactaθ''(t) = −(g/L) · sin(θ)

Aproximación de pequeños ángulosθ''(t) ≈ −(g/L) · θ

Período, aproximación de pequeños ángulosT = 2π · sqrt(L / g)

Frecuenciaf = 1 / T = (1/2π) · sqrt(g / L)

Frecuencia angular, rad/sω = sqrt(g / L)

Energía total, desde la altura al ángulo máximoE_total = m·g·L·(1 − cos(θ_max))

Variables clave

Símbolo	Nombre	Unidad	Significado
θ	Ángulo	radianes (rad)	Ángulo de desplazamiento desde el equilibrio vertical
L	Longitud	m	Distancia del pivote al centro de la masa
g	Aceleración gravitatoria	m/s²	9,8 m/s² cerca de la superficie de la Tierra
m	Masa	kg	Masa de la lenteja del péndulo
T	Período	s	Tiempo para completar una oscilación entera
f	Frecuencia	Hz	Número de oscilaciones completas por segundo
ω	Frecuencia angular	rad/s	Tasa de oscilación en radianes por segundo
θ_max	Amplitud	radianes (rad)	Ángulo máximo alcanzado durante el balanceo
b	Coeficiente de amortiguamiento	kg/s	Controla qué tan rápido se disipa la energía

Ejemplos del mundo real

Relojes mecánicos: los relojes de péndulo usan la propiedad isócrona para llevar el tiempo. Un péndulo más largo se balancea más lento; un péndulo de un metro tiene un período de casi exactamente 2 segundos, lo que lo convirtió en la base del reloj de pie.
Sismógrafos: los primeros sismógrafos usaban péndulos pesados para detectar el movimiento del suelo. Cuando el suelo tiembla, la masa del péndulo tiende a quedarse quieta por inercia mientras el pivote se mueve — ese desplazamiento relativo es lo que se registra.
Péndulo de Foucault: un péndulo al que se permite oscilar libremente durante horas traza una trayectoria que rota, demostrando la rotación de la Tierra debajo de él. Hay instalaciones en museos de ciencia de todo el mundo.

Cómo funciona la simulación

Tres deslizadores te permiten fijar la longitud de la cuerda (m), el ángulo inicial (grados) y el coeficiente de amortiguamiento. Al pulsar Iniciar se libera el péndulo desde el ángulo inicial. La simulación integra la ecuación de movimiento no lineal exacta — no la aproximación de pequeños ángulos — así que puedes observar el efecto de alargamiento del período a ángulos grandes. El deslizador de amortiguamiento agrega una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, así que con valores altos puedes ver al péndulo perder energía y asentarse hacia el equilibrio. La lectura del período compara el período simulado con la fórmula de pequeños ángulos, lo que facilita ver dónde se rompe la aproximación.

Lecturas adicionales

Movimiento armónico simple — el marco general para sistemas oscilantes y el papel de las fuerzas restauradoras
Oscilaciones amortiguadas y forzadas — cómo la pérdida de energía y el forzado externo cambian el comportamiento de los osciladores
El péndulo doble — un sistema famosamente caótico formado al unir un segundo péndulo a la masa del primero