Péndulo simple · FísicaEl período depende de la longitud, no de la masa
Introducción
Un péndulo simple es una lenteja puntual colgada de un pivote sin fricción mediante una varilla rígida sin masa, libre de balancearse en un plano vertical bajo la gravedad. La simulación integra la ecuación no lineal completa θ'' = −(g/L) · sin(θ), así que la lenteja obedece la física real del balanceo y no el atajo lineal de los libros. La longitud, el ángulo inicial y el amortiguamiento son los tres deslizadores, y las lecturas exponen Tiempo, Ángulo, Periodo y la velocidad angular ω.
El péndulo ancla el capítulo de oscilaciones porque la misma estructura restauradora aparece en escapes de relojes, brazos de sismógrafos, amortiguadores de edificios y la marcha humana. Entender por qué un péndulo de un metro queda cerca de dos segundos (y por qué ese número falla pasados unos 20°) es la puerta a todo oscilador más rico que viene después.
A menudo se piensa que jalar la lenteja más atrás debería acortar cada balanceo porque la lenteja se mueve más rápido. La realidad en pantalla difiere: con L = 1,0 m y una soltura de 10° el balanceo vuelve a su ángulo inicial cerca de 2,01 s, pero soltarla desde 60° con la misma longitud estira el viaje de ida y vuelta a unos 2,15 s. El arco más amplio es geométricamente más largo, y la fuerza restauradora es más débil que lo que la fórmula lineal supone, así que el periodo crece aunque la rapidez pico también crezca.
La física explicada
Dos fuerzas actúan sobre la lenteja: la tensión a lo largo de la varilla, que solo redirige el movimiento, y la gravedad recta hacia abajo. Al proyectar la gravedad sobre el arco, la componente tangencial es −g · sin(θ). Como la distancia al pivote queda fija en L, la aceleración tangencial vale L · θ'', y la ecuación de movimiento es θ'' = −(g/L) · sin(θ). El signo negativo es el carácter restaurador: cada vez que θ se aparta de cero, la lenteja es jalada de regreso. La simulación integra esta ecuación directamente (sin(θ), no su sustituto lineal) con un subpaso de 1/240 s, razón por la cual el balanceo en pantalla coincide con la realidad incluso a amplitudes grandes.
Para ángulos pequeños, sin(θ) ≈ θ en radianes, así que la ecuación colapsa a θ'' = −(g/L) · θ. Esa es la forma característica del movimiento armónico simple, y su solución oscila a frecuencia constante con periodo independiente de la amplitud T = 2π · sqrt(L/g). Sustituyendo el valor por defecto L = 1,0 m da T ≈ 2,006 s, que es lo que muestra la lectura de Periodo. Con Ángulo Inicial 10° y Amortiguamiento 0, el tiempo medido entre regresos sucesivos a +10° aterriza cerca de 2,01 s, la predicción de ángulo pequeño se cumple con un margen de unas décimas de por ciento.
Si empujas el ángulo más grande, la fórmula lineal empieza a mentir. La lectura de Periodo sigue mostrando 2,006 s para L = 1,0 m porque ese número sale directo de la fórmula, pero la lenteja tarda más en regresar. Con Ángulo Inicial 60° el tiempo de balanceo medido ronda los 2,15 s, alrededor de 7 % por encima del Periodo mostrado. A 85° la brecha se ensancha hasta cerca de 18 %. No es un error numérico, es la firma de la curva sin(θ) que se ubica por debajo de su recta tangente. Los balanceos amplios se demoran más cerca de los puntos de retorno donde la fuerza restauradora es más débil.
La longitud y la gravedad son las únicas perillas que mueven el periodo de ángulo pequeño, la masa se cancela por completo en θ'' = −(g/L) · sin(θ). Cuadruplicar la longitud duplica el periodo gracias a la raíz cuadrada: con L = 4,0 m la predicción vale 2π · sqrt(4,0/9,81) ≈ 4,012 s, el doble exacto del valor para L = 1,0 m. Agregar amortiguamiento no cambia mucho el periodo en el límite pequeño, pero le quita amplitud cada ciclo. Con Amortiguamiento 0,20 y Ángulo Inicial 30° el balanceo se encoge visiblemente mientras los intervalos entre cruces por cero se mantienen casi constantes.
Ecuaciones clave
Esto es lo que la simulación integra. Con g = 9,81 m/s² y L = 1,0 m, soltar desde θ₀ = 10° = 0,1745 rad da una aceleración angular inicial de −9,81 · sin(0,1745) ≈ −1,703 rad/s². La lenteja jamás abandona esta regla a lo largo de todo el recorrido.
Reemplazar sin(θ) por θ es preciso a cerca de 0,5 % a 10° y a cerca de 5 % a 30°. Para los valores por defecto L = 1,0 m y θ₀ = 10° la aceleración linealizada vale −9,81 · 0,1745 ≈ −1,712 rad/s², dentro del 0,6 % del valor exacto de arriba.
Para L = 1,0 m: T = 2π · sqrt(1,0 / 9,81) = 2π · 0,3193 ≈ 2,006 s. La lectura de Periodo de la simulación marca exactamente 2,006 s en la configuración por defecto, y un cronómetro sobre la lectura de Tiempo entre regresos sucesivos a +10° coincide con un margen menor a un por ciento.
Para L = 1,0 m: ω₀ = sqrt(9,81) ≈ 3,132 rad/s. El |ω| pico que se ve en el fondo del balanceo para una soltura desde 10° es ω₀ · sin(10°) ≈ 3,132 · 0,1736 ≈ 0,544 rad/s, que es el valor que alcanza la lectura de velocidad angular cuando la lenteja cruza θ = 0.
Toma m = 1 kg como referencia. A θmax = 10° = 0,1745 rad, E = 1 · 9,81 · 1,0 · (1 − 0,9848) ≈ 0,149 J. Con Amortiguamiento 0 esta energía se conserva exactamente; con Amortiguamiento 0,20 la amplitud que muestra la simulación se encoge y la E equivalente decae hacia cero.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| θ | Ángulo | rad (o °) | Desplazamiento angular desde el equilibrio vertical |
| θmax | Amplitud | rad (o °) | Ángulo máximo alcanzado durante el balanceo |
| L | Longitud | m | Distancia del pivote a la lenteja por la varilla rígida |
| g | Aceleración gravitatoria | m/s² | 9,81 m/s² hacia abajo cerca de la superficie terrestre |
| m | Masa | kg | Masa de la lenteja puntual, se cancela en la fórmula del periodo |
| T | Periodo | s | Tiempo de un balanceo completo de ida y vuelta |
| ω | Velocidad angular | rad/s | Tasa con la que cambia el ángulo θ |
| b | Amortiguamiento | kg/s | Coeficiente de arrastre proporcional a la velocidad |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué un reloj de péndulo de un metro marca casi exactamente un tic por segundo?
La industria del reloj de pie se asentó en un péndulo de aproximadamente un metro porque el periodo de ángulo pequeño para L = 1,0 m y g = 9,81 m/s² es T = 2π · sqrt(1,0 / 9,81) ≈ 2,006 s. La mitad de ese viaje de ida y vuelta (el tiempo entre el extremo izquierdo y el extremo derecho) supera apenas un segundo, que es justo la cadencia del segundero. La elección no fue estética. Salió directo de T = 2π · sqrt(L/g) y de la restricción de construir un reloj que latiera segundos.
La simulación reproduce este número en su configuración por defecto. Coloca Longitud en 1,0 m, Ángulo Inicial en 10° y Amortiguamiento en 0, y la lectura de Periodo marca 2,006 s. Cronometrando regresos sucesivos de la lectura de Ángulo a +10° con la lectura de Tiempo, el intervalo aterriza dentro de 2,01 s. Un escape de reloj mantiene la amplitud del balanceo diminuta (usualmente un par de grados) precisamente para que la fórmula de ángulo pequeño se mantenga precisa con la décima de por ciento que sus pretensiones de exactitud exigen.
Si un relojero necesita un latido de medio segundo en lugar de uno de un segundo, la misma ecuación obliga a bajar la longitud. Resolver 1,0 = 2π · sqrt(L/9,81) da L ≈ 0,248 m, y la simulación con L = 0,25 m reporta un Periodo de 1,003 s, la mitad del valor de un metro, justo como predice la raíz cuadrada de un cuarto.
¿Cuán largo debe ser un péndulo de Foucault para balancearse lo bastante lento como para leer la rotación de la Tierra?
Un péndulo de Foucault demuestra la rotación de la Tierra trazando una línea de balanceo que precesa lentamente a lo largo del piso del atrio de un museo. Para que la precesión sea visible al observador casual, cada balanceo individual debe durar lo suficiente como para que el ojo lo siga: las instalaciones de museos suelen elegir longitudes de varilla entre 15 m y 30 m. Sustituyendo L = 25 m en T = 2π · sqrt(L/g) da un periodo de unos 10,03 s, lo bastante lento como para ver la lenteja arquear de un lado a otro del salón sin esfuerzo.
La escala de raíz cuadrada es lo que obliga a que la varilla sea tan larga. Duplicar el periodo de 2 s a 4 s exige cuadruplicar la longitud, de 1,0 m a 4,0 m. Llegar a 10 s exige una longitud 25 veces la línea base de un metro. La simulación confirma la tendencia en el extremo bajo: poner Longitud en 4,0 m y Ángulo Inicial en 10° da una lectura de Periodo de 4,012 s, exactamente el doble de la línea base de 2,006 s para L = 1,0 m, con el tiempo medido en la lectura de Tiempo coincidiendo dentro del redondeo.
Las instalaciones reales de Foucault también mantienen pequeño el ángulo de soltura (típicamente por debajo de 5°) por la misma razón que los péndulos de relojería. Los ángulos grandes introducen el crecimiento de periodo asociado a sin(θ) que la simulación expone a 60° y 85°, y eso enturbiaría la firma de precesión que la demostración pretende destacar.
¿Por qué los péndulos de los sismógrafos están afinados a periodos largos?
Un péndulo de sismógrafo necesita quedarse quieto mientras el suelo bajo el pivote se mueve. Esa separación funciona solo cuando el periodo natural del péndulo es mucho más largo que el periodo del movimiento del suelo que se está registrando, las ondas superficiales de un terremoto típico van de 1 s a 30 s, así que los diseños de sismógrafos apuntan a periodos naturales bastante por encima de 30 s. Resolver T = 2π · sqrt(L/g) para ese objetivo da una longitud requerida de unos 224 m sobre un péndulo vertical, razón por la cual los sismógrafos reales usan trucos de palancas y resortes en lugar de una sola varilla larga.
La simulación ilustra la tendencia sin necesitar la longitud completa del sismógrafo. Con Longitud 4,0 m y Ángulo Inicial 10°, la lectura de Periodo muestra 4,012 s y la lenteja se toma su tiempo cruzando la pantalla. Reduce Longitud a 0,25 m y la lectura de Periodo cae a 1,003 s; el balanceo se vuelve demasiado rápido para disociarlo del movimiento veloz del pivote. Cuanto más largo el péndulo, con más pereza responde la lenteja, la misma separación de inercia frente a pivote que el ingeniero de sismógrafos necesita.
Lecturas adicionales
- Oscilador masa-resorte: la misma estructura de fuerza restauradora con un resorte de Hooke en lugar de la gravedad, y el escenario más limpio para ver el movimiento armónico simple sin la no linealidad.
- Resorte amortiguado: qué pasa cuando se agrega un término de arrastre proporcional a la velocidad al oscilador, y cómo se ven los regímenes subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado en una gráfica del balanceo.
- Péndulo doble: al unir un segundo péndulo a la lenteja del primero el sistema sale por completo de la ventana de ángulo pequeño y se vuelve famosamente caótico para casi cualquier configuración de soltura.