Explosión de dos cuerpos · FísicaLiberación de resorte y conservación del momento

Introducción

Una explosión de dos cuerpos es un evento en el que una fuente de energía almacenada se libera entre dos masas y cada masa sale disparada en dirección opuesta; este simulador modela el caso particular en el que las dos masas parten del reposo y en contacto. Una separación puede ocurrir igualmente mientras el centro de masa del par ya se mueve; el mismo balance se aplica entonces en el sistema de referencia del centro de masa. La versión prototípica comprime un resorte entre los dos cuerpos, los mantiene juntos y luego los suelta; el resorte empuja a ambos cuerpos simultáneamente hacia lados opuestos. Como ninguna fuerza horizontal externa actúa sobre el par, el momento total permanece exactamente en cero durante todo el evento: cada cuerpo lleva un momento de igual magnitud y signo opuesto al del otro.

Este escenario sustenta una gama notablemente amplia de sistemas reales: la propulsión de cohetes, el retroceso de armas de fuego, la desintegración radiactiva y el empuje entre patinadores sobre hielo comparten todos este mismo balance de momento, aunque un cohete es un sistema continuo de masa variable y muchas desintegraciones producen más de dos fragmentos. Los ingenieros utilizan la relación de razón inversa de masas para calcular cargas de propelente, predecir cómo se reparten la velocidad y el momento entre las partes y determinar velocidades de separación en vehículos por etapas; la fuerza de retroceso en sí depende además de cómo se distribuye el impulso en el tiempo. El simulador rastrea el indicador ΣP (momento total) y los indicadores individuales EC₁ y EC₂, haciendo que cada predicción sea numéricamente verificable dentro del lienzo.

Quienes se acercan a este escenario por primera vez suelen esperar que ambas masas se muevan a la misma velocidad, o que la masa más pesada se mueva más rápido porque absorbe más del empuje del resorte. El indicador ΣP contradice esa imagen directamente: con m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg y energía del resorte E = 10 J, el indicador v1 se estabiliza en 3,65 m/s mientras que v2 marca 1,83 m/s; el cuerpo más ligero se mueve a casi el doble de velocidad que el más pesado, y ΣP se mantiene en 0,00 kg·m/s en todo momento.

La física explicada

Toda la derivación descansa en dos leyes de conservación aplicadas simultáneamente. Antes de que el resorte se libere, el sistema está estacionario: momento total P = m1·0 + m2·0 = 0. Ninguna fuerza externa actúa horizontalmente durante ni después de la liberación, por lo que ese cero es permanente. Tras la liberación, la conservación del momento exige m1·v1 + m2·v2 = 0, lo que da inmediatamente v1 = −(m2/m1)·v2. El signo negativo indica que los cuerpos se mueven en direcciones opuestas, y la razón de sus rapideces es igual al inverso de su razón de masas.

La conservación de la energía proporciona la segunda ecuación. La energía potencial almacenada en el resorte E se convierte íntegramente en energía cinética: ½m1·v1² + ½m2·v2² = E. Sustituyendo v1 = −(m2/m1)·v2 y despejando v2 se obtiene v2 = sqrt(2·E·m1 / (m2·(m1+m2))). Con los valores predeterminados del simulador de m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg, E = 10 J, esto da v2 = sqrt(20/6) ≈ 1,826 m/s. El indicador v2 muestra 1,83 m/s, coincidiendo con tres cifras significativas. Sustituyendo de vuelta se obtiene v1 = −(2,0/1,0)·1,826 ≈ −3,651 m/s, y el indicador v1 confirma 3,65 m/s en magnitud.

La marca del centro de masa, la línea vertical punteada que cruza el centro del lienzo (las etiquetas de la cuadrícula cuentan desde el borde izquierdo, así que cae sobre la línea de 55 m), ilustra una consecuencia geométrica importante: como el momento total es cero, el centro de masa del sistema nunca se desplaza. Cada cuerpo se aleja de ese punto fijo a su velocidad analíticamente determinada, con el cuerpo 1 (más ligero) cubriendo siempre más distancia por unidad de tiempo que el cuerpo 2 (más pesado). El indicador EC₁ se estabiliza en aproximadamente 6,67 J y EC₂ en aproximadamente 3,33 J, sumando 10,00 J y recuperando la energía total del resorte, lo que confirma que ninguna energía se pierde del sistema.

Las masas iguales producen el caso especial simétrico. Con m1 = 2,0 kg, m2 = 2,0 kg, E = 10 J, ambas fórmulas de rapidez dan sqrt(5) ≈ 2,236 m/s, y ambos indicadores de energía cinética llegan a 5,00 J. Los dos cuerpos parten a rapideces idénticas en direcciones opuestas, EC₁ = EC₂, y ΣP marca 0,00 kg·m/s como se espera. Esta simetría se rompe inmediatamente cuando las masas difieren, y la asimetría en rapidez crece con la razón de masas.

Ecuaciones clave

Como el sistema parte del reposo y ninguna fuerza horizontal externa actúa, el momento total es cero antes y después de que el resorte se libere. Con m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg, v1 ≈ −3,651 m/s, v2 ≈ 1,826 m/s: 1,0·(−3,651) + 2,0·1,826 = −3,651 + 3,652 ≈ 0,000 kg·m/s. El indicador ΣP se mantiene en 0,00 kg·m/s durante toda la ejecución.

Sustituyendo m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg, E = 10 J: v2 = sqrt(2·10·1,0 / (2,0·3,0)) = sqrt(20/6) = sqrt(3,333) ≈ 1,826 m/s. El indicador v2 muestra 1,83 m/s, coincidiendo con la predicción analítica dentro del redondeo. Esta fórmula resulta de resolver simultáneamente la conservación del momento y la conservación de la energía para las dos velocidades desconocidas tras la liberación.

Una vez conocida v2, la ecuación de momento entrega v1 directamente. Con m2/m1 = 2,0/1,0 = 2,0 y v2 ≈ 1,826 m/s: v1 = −2,0·1,826 ≈ −3,651 m/s. El indicador v1 muestra 3,65 m/s en magnitud. El signo negativo codifica la dirección: el cuerpo 1 vuela hacia la izquierda mientras el cuerpo 2 vuela hacia la derecha en el lienzo.

La razón de rapideces es la imagen especular de la razón de masas. Con los valores predeterminados, |v1|/|v2| = 3,651/1,826 ≈ 2,000, exactamente m2/m1 = 2,0/1,0. Fijando m1 = 0,5 kg y m2 = 5,0 kg (E = 40 J) la razón sube a 10,0: el simulador indica |v1| ≈ 12,06 m/s y |v2| ≈ 1,206 m/s, una diferencia de rapidez de 10× que los indicadores confirman con precisión.

Variables clave

Ejemplos del mundo real

¿Por qué los cohetes siguen acelerando en el vacío del espacio?

Un motor de cohete es una explosión de dos cuerpos continua. Los productos de combustión se expulsan a gran velocidad por la tobera y, por la misma lógica de conservación del momento que rige la liberación de un resorte, el cuerpo del vehículo acelera en dirección opuesta. No se necesita ninguna superficie externa contra la que empujar: el escape lleva momento en un sentido y el cuerpo del cohete lleva un momento igual y opuesto en el otro.

Cada kilogramo de propelente expulsado a velocidad de escape v_e transfiere momento m_prop·v_e al gas, de modo que el cohete gana la misma magnitud de momento en la dirección de avance. Con m1 = 5,0 kg como representación del vehículo (la estructura más el propelente que aún lleva a bordo) y m2 = 0,5 kg como una porción de gases de escape, E = 40 J representando la energía de combustión entregada a esa porción, el simulador indica |v1| ≈ 1,206 m/s para el vehículo frente a |v2| ≈ 12,06 m/s para el escape, con el indicador ΣP fijo en 0,00 kg·m/s en todo momento.

Que ΣP permanezca en cero es la confirmación del simulador de que el empuje en el espacio no requiere un empuje externo. La razón de rapideces de 10:1 con esos valores coincide con la razón inversa de masas (m1/m2 = 5,0/0,5): el escape ligero sale rápido mientras el vehículo pesado gana solo un pequeño incremento de velocidad por cada porción. Sumar esos incrementos a medida que el vehículo pierde masa es lo que hace la ecuación del cohete de Tsiolkovsky, que rige cada misión desde la órbita terrestre baja hasta las transferencias interplanetarias.

¿Cómo depende la velocidad de retroceso de un arma de la masa del proyectil?

Disparar un arma demuestra la conservación del momento en una explosión de un único evento. El propelente libera energía química y envía el proyectil hacia adelante mientras el arma retrocede hacia atrás. Antes del disparo, el sistema está en reposo y el momento total es cero, lo que coincide exactamente con la condición inicial de la explosión de dos cuerpos, con ambos cuerpos en reposo, uno junto al otro en el centro. Tras el disparo, el momento del proyectil y el del arma deben sumar cero, de modo que m_arma·v_arma = m_proyectil·v_proyectil en magnitud.

La razón de rapideces es el inverso de la razón de masas: la misma relación |v1|/|v2| = m2/m1 que el indicador ΣP preserva. Con m1 = 1,5 kg (arma), m2 = 0,5 kg (proyectil), E = 40 J en el simulador se obtiene |v1| ≈ 3,65 m/s y |v2| ≈ 10,95 m/s, una razón de rapideces de 3,00 que coincide con m2/m1 = 0,5/1,5 invertido: el proyectil viaja a tres veces la velocidad del retroceso del arma.

Las armas reales expulsan proyectiles a cientos de metros por segundo mientras retroceden solo unos pocos metros por segundo, porque la masa del proyectil es una pequeña fracción de la masa total del arma. Un proyectil de 0,010 kg que sale a 900 m/s lleva 9 kg·m/s de momento; una pistola de 1,5 kg retrocede por tanto a 6 m/s hacia atrás. El indicador ΣP confirma 0,00 kg·m/s en cada instante, lo que demuestra que el retroceso no es un efecto secundario del disparo, sino la consecuencia directa de la conservación del momento sin ninguna fuerza horizontal externa implicada.

¿Cómo aprovechan la conservación del momento los patinadores sobre hielo cuando se empujan mutuamente?

Dos patinadores de pie frente a frente sobre hielo sin fricción que se empujan mutuamente demuestran la ley de la explosión de dos cuerpos. El empuje reproduce la explosión de dos cuerpos con gran fidelidad. Antes del empuje, el sistema está estacionario: el momento total es cero. El empuje mutuo, como un resorte comprimido que se libera, acelera a ambos patinadores en direcciones opuestas. El patinador más ligero se aleja más rápido según la razón inversa de masas, a una velocidad proporcionalmente mayor que la de su compañero más pesado.

Con m1 = 2,0 kg y m2 = 3,0 kg como representación escalada de un par de patinadores de 50 kg y 75 kg, E = 10 J en el simulador da |v1| ≈ 2,449 m/s y |v2| ≈ 1,633 m/s. La razón 2,449/1,633 ≈ 1,500 coincide exactamente con m2/m1 = 3,0/2,0. Escalado a las masas reales, el patinador más ligero se desliza a 1,5 veces la velocidad del más pesado, independientemente de la fuerza del empuje: la razón de rapideces la fija únicamente la masa.

El indicador ΣP permanece en 0,00 kg·m/s desde el momento de la liberación, confirmando que no actúa ninguna fuerza horizontal externa. La fricción del hielo es despreciable durante el breve empuje, y la resistencia del aire no desempeña ningún papel a velocidades de patinaje en esta escala de tiempo, por lo que la idealización de hielo sin fricción es una aproximación muy cercana al sistema físico real.

Lecturas adicionales

• Colisiones elásticas: tanto el momento como la energía cinética se conservan cuando dos cuerpos en movimiento chocan, extendiendo el mismo marco de conservación a velocidades iniciales no nulas.
• Colisiones inelásticas: qué ocurre cuando el momento se conserva pero la energía cinética no, y adónde va la energía faltante dentro de los cuerpos que chocan.
• Retroceso del cañón: el balance de momentos de dos cuerpos aplicado a un proyectil disparado desde un cañón con ruedas, con la velocidad de retroceso derivada de la misma razón inversa de masas.
• Carritos y la tercera ley de Newton: carritos emparejados sobre una pista demuestran los pares de fuerzas iguales y opuestas que impulsan todo escenario de explosión y colisión.