Gas en un émbolo · FísicaPV = nRT, presión y volumen

Introducción

La ley del gas ideal, PV = nRT, condensa una de las relaciones más ampliamente verificadas de la física clásica: para una cantidad fija de gas a temperatura constante, la presión y el volumen son inversos hiperbólicos. Comprimir el volumen a la mitad duplica exactamente la presión; expandirlo al doble la reduce a la mitad. Esta ley emerge del promedio estadístico de innumerables colisiones moleculares contra las paredes del recipiente, y se cumple con notable precisión para gases reales cerca de temperaturas y presiones ordinarias.

Los ingenieros recurren a esta relación cada vez que un gas debe almacenarse, transportarse o convertirse en trabajo mecánico. Los actuadores neumáticos, los reguladores de buceo, los ciclos de motores de combustión interna y los compresores de refrigeración operan todos sobre relaciones presión-volumen que PV = nRT gobierna en su núcleo. El diagrama P–V, que representa la presión frente al volumen a medida que una de las dos cantidades varía, es la herramienta estándar para analizar esos procesos, y una isoterma en ese diagrama es siempre una hipérbola rectangular cuya forma exacta queda determinada por el producto nRT.

La intuición habitual sugiere que comprimir un gas una pequeña cantidad eleva su presión apenas un poco, y que cambios de presión grandes requieren variaciones de volumen extremas. Los indicadores del simulador refutan esa idea: con n = 0,5 mol y T = 300 K, el indicador de presión marca 124,7 kPa en V = 10 L y ya alcanza 249,4 kPa en V = 5 L. La presión se duplica por una compresión que solo redujo el volumen a la mitad, y el punto P–V traza un arco pronunciado hacia arriba por la hipérbola que resulta fácil de subestimar cuando se razona informalmente sobre el comportamiento de los gases.

La física explicada

La ley del gas ideal PV = nRT relaciona cuatro cantidades: la presión P (en pascales), el volumen V (en metros cúbicos), la cantidad de sustancia n en moles y la temperatura absoluta T (en kelvin), con la constante universal de los gases R = 8,314 J/(mol·K). Con los valores predeterminados del simulador (n = 0,5 mol, T = 300 K y V = 10 L = 0,010 m³), la fórmula da P = (0,5 × 8,314 × 300) / 0,010 = 1247,1 / 0,010 = 124 710 Pa, que el indicador de presión reporta como 124,7 kPa. El indicador PV muestra 1247,1 J, que es simplemente nRT evaluado en esas condiciones predeterminadas.

Como el simulador mantiene T y n fijos mientras el control deslizante de volumen se desplaza, el caso especial pertinente es la ley de Boyle: PV = constante. Esa constante es nRT = 0,5 × 8,314 × 300 = 1247,1 J para los valores predeterminados. Mover el control de volumen a 5 L (0,005 m³) da P = 1247,1 / 0,005 = 249 420 Pa (249,4 kPa); moverlo a 20 L (0,020 m³) da P = 1247,1 / 0,020 = 62 355 Pa (62,4 kPa). El indicador PV permanece en 1247,1 J en todas las posiciones porque el producto es invariante. Esa constancia es exactamente lo que representa la isoterma ámbar discontinua del diagrama P–V: cada punto de esa curva satisface el mismo producto PV = nRT.

El punto azul en vivo sobre el diagrama P–V marca el estado actual. Fija un volumen objetivo menor y pulsa Iniciar (compresión) y el punto sube por la hipérbola hasta la presión más alta; un objetivo mayor (expansión) lo asienta más abajo. La forma de la hipérbola depende del producto nRT. Elevar T de 300 K a 600 K con V = 10 L duplica la presión de 124,7 kPa a 249,4 kPa y desplaza toda la isoterma hacia arriba, porque nRT ha pasado de 1247,1 J a 2494,2 J. Duplicar n de 0,5 mol a 1,0 mol produce el mismo desplazamiento por la misma razón: lo que define la posición de la isoterma es el producto nRT, no sus factores individuales.

Los seis puntos azules animados dentro del cilindro ilustran cualitativamente por qué la presión aumenta al comprimir. Esos puntos rebotan entre la pared izquierda y la cara del émbolo; cuando el émbolo se desplaza hacia la izquierda, los mismos seis puntos ocupan un espacio menor, lo que implica colisiones más frecuentes por unidad de área de pared, que es precisamente el mecanismo microscópico que eleva la presión macroscópica cuantificada por PV = nRT.

Ecuaciones clave

Con los valores predeterminados (n = 0,5 mol, T = 300 K, V = 10 L = 0,010 m³, R = 8,314 J/(mol·K)), el lado izquierdo equivale a P × 0,010 y el lado derecho a 0,5 × 8,314 × 300 = 1247,1 J, lo que da P = 124 710 Pa = 124,7 kPa. El indicador de presión confirma ese valor. Cualquier combinación de controles deslizantes produce una presión que puede recuperarse insertando n, T y V mostrados en esta única ecuación.

Esta reorganización hace explícita la relación inversa: P escala de forma lineal con n y T, pero inversamente con V. Con V = 5 L = 0,005 m³ y los mismos n y T, la fórmula da P = 1247,1 / 0,005 = 249 420 Pa (249,4 kPa), exactamente el doble de la presión predeterminada para exactamente la mitad del volumen predeterminado. El indicador de presión reproduce ese valor cuando el control deslizante de volumen se fija en 5.

Cuando T y n se mantienen fijos, el producto PV es constante. Con el estado 1 en los valores predeterminados (P₁ = 124,7 kPa, V₁ = 10 L), el producto P₁V₁ = 1247,0 kPa·L = 1247,1 J. Pasando al estado 2 con V₂ = 5 L se obtiene P₂ = 1247,1 / 0,005 = 249,4 kPa; con V₂ = 20 L se obtiene P₂ = 1247,1 / 0,020 = 62,4 kPa. El indicador PV reporta 1247,1 J en todas las posiciones del control deslizante bajo estas condiciones, corroborando la invariante.

El indicador PV del simulador muestra directamente este producto en julios. En el estado predeterminado marca 1247,1 J; con n = 1,0 mol y T = 300 K marca 2494,2 J; con n = 0,5 mol y T = 600 K también marca 2494,2 J, porque ambos cambios duplican nRT por el mismo factor. La equivalencia entre duplicar n y duplicar T en su efecto sobre el producto PV es una consecuencia algebraica directa de PV = nRT.

Variables clave

Ejemplos del mundo real

¿Cómo aprovechan la ley del gas ideal las bombas de bicicleta y las herramientas neumáticas?

Una bomba de bicicleta es un dispositivo émbolo-cilindro que opera con exactamente la misma física que captura el simulador. Cuando el ciclista empuja el mango, el émbolo reduce el volumen de aire dentro del barril. En el momento en que la presión interna supera la presión del neumático, la válvula se abre y el gas ingresa, elevando ligeramente la presión en cada golpe. La pregunta de ingeniería para los diseñadores de bombas es cuánta fuerza debe aplicar el ciclista por golpe, lo que depende directamente de la presión alcanzada en el volumen mínimo del recorrido.

Con n = 0,5 mol, T = 300 K y V comprimido de 10 L a 5 L, el indicador de presión sube de 124,7 kPa a 249,4 kPa, lo que exige el doble de fuerza sobre el émbolo para la misma sección transversal. Las pistolas neumáticas de clavos y los compresores de aire escalan la misma relación a volúmenes más pequeños y cantidades mayores de moles, alcanzando presiones manométricas de 600-900 kPa (aproximadamente 6-9 atm), donde el ascenso hiperbólico en el diagrama P-V se vuelve tan pronunciado que pequeñas compresiones adicionales generan grandes incrementos de presión.

El indicador PV, fijo en 1247,1 J para esas condiciones predeterminadas, confirma que el producto nRT establece un techo sobre la presión que puede alcanzar una masa fija de gas a temperatura constante para cualquier volumen mínimo dado. Los diseñadores de bombas trabajan dentro de esta restricción aumentando n (cargas más densas) o T (etapas de compresión calentadas) cuando se necesitan presiones de entrega más altas.

¿Por qué un motor diésel enciende el combustible sin bujía?

Los motores diésel comprimen el aire hasta aproximadamente 1/16 o 1/25 de su volumen original antes de inyectar combustible. Con esas relaciones de compresión, la ley del gas ideal predice aumentos de presión muy grandes; un motor real también calienta el gas durante la compresión (un proceso más cercano al adiabático que al isotérmico), y ese pico de temperatura es lo que enciende el combustible diésel al contacto. El simulador isotérmico mantiene T fija, por lo que aísla el componente de presión de PV = nRT.

Al fijar V en 2 L (la posición mínima del control deslizante) con n = 0,5 mol y T = 300 K, el indicador de presión marca aproximadamente 623,6 kPa, cerca de cinco veces la lectura predeterminada de 124,7 kPa a 10 L. Un cilindro diésel parte de un desplazamiento mucho mayor y comprime bastante más allá de esos límites, alcanzando temperaturas superiores a 700-900 K durante la carrera de compresión, muy por encima del umbral de autoignición del diésel cercano a los 250 °C.

El control deslizante de temperatura permite ver el componente térmico por separado: elevar T de 300 K a 600 K con V = 10 L duplica el indicador de presión de 124,7 kPa a 249,4 kPa. En un ciclo diésel real, ambos efectos se combinan simultáneamente, razón por la cual los motores de encendido por compresión alcanzan temperaturas de combustión y presiones de cilindro muy superiores a lo que cualquiera de los dos efectos predeciría por separado a partir de la línea de base isotérmica del simulador.

¿Cómo almacenan los tanques de buceo suficiente gas para una inmersión de 45 minutos?

Un tanque de buceo estándar tiene un volumen interno de aproximadamente 12 litros y se presuriza a unos 200 bar (20 000 kPa). A esa presión, la ley del gas ideal predice que el tanque contiene el equivalente a 2400 litros de aire a presión atmosférica, suficiente para una inmersión recreativa típica de 45 minutos. La variable clave es n: empacar más moles en el mismo volumen eleva la presión de forma proporcional.

El control deslizante de cantidad del simulador (0,1 a 2,0 mol) captura esta escala lineal. Con V = 10 L y T = 300 K, duplicar n de 0,5 mol a 1,0 mol duplica el indicador de presión de 124,7 kPa a 249,4 kPa y duplica el indicador PV de 1247,1 J a 2494,2 J. Los tanques de buceo aplican esta relación a densidades de moles extremas: una carga de 200 bar significa que el gas interior está comprimido a aproximadamente 1/200 de su volumen en aire libre.

Los reguladores de buceo realizan el paso inverso, expandiendo ese gas de alta presión hasta la presión ambiente mediante una reducción en dos etapas. Cada etapa es una expansión controlada a lo largo de una curva presión-volumen: el mismo camino hiperbólico que traza el diagrama P-V del simulador cuando el control deslizante de volumen se desplaza de 2 L hacia 20 L. La función del regulador es mantener la presión entregada cerca de 1 atm independientemente del gas restante en el tanque, lo que logra aprovechando la misma relación PV = nRT en sentido inverso.

Lecturas adicionales

• Resorte amortiguado: cómo la disipación de energía modifica el movimiento oscilatorio, un contraste útil con el modelo de gas ideal conservativo y sin disipación.
• Sistema masa-resorte: la fuerza restauradora y el movimiento periódico que subyacen a las analogías émbolo-resorte usadas en el diseño de compresores.
• Velocidad terminal: las fuerzas de arrastre sobre un objeto en caída como complemento al análisis de fuerzas de presión en sistemas de fluidos y gases.