Velocidad terminal · FísicaRapidez terminal v = √(2mg/ρCdA)
Introducción
La velocidad terminal es la rapidez constante que alcanza un objeto en caída cuando la fuerza de arrastre hacia arriba equilibra exactamente la atracción gravitacional hacia abajo. En ese instante la fuerza neta sobre el objeto es cero, la aceleración desaparece y el objeto continúa a velocidad fija mientras permanezca en el fluido. La rapidez a la que ocurre el equilibrio viene dada por la fórmula vt = sqrt(2mg / ρ·Cd·A), donde m es la masa, g la aceleración gravitacional, ρ la densidad del fluido, Cd el coeficiente de arrastre y A el área transversal. Con los valores predeterminados de la simulación (m = 1,0 kg, Cd·A = 0,047 m², ρ = 1,225 kg/m³ para el aire), el indicador vt muestra ≈ 18,46 m/s.
El concepto ancla el estudio de las fuerzas de arrastre porque es el único punto de la trayectoria de un objeto en caída donde todas las fuerzas quedan completamente contabilizadas sin resolver una ecuación diferencial, la condición de equilibrio sola da la respuesta. Los ingenieros usan la misma fórmula para dimensionar paracaídas, diseñar sistemas de drenaje de aguas pluviales, calibrar modelos en túneles de viento y predecir la velocidad de sedimentación de partículas en separadores industriales. Los biólogos la aplican para entender cómo insectos y semillas aprovechan el arrastre para un descenso controlado.
La idea extendida es que un objeto más pesado siempre cae más rápido, y por tanto alcanza una velocidad terminal proporcionalmente mayor. La simulación matiza la idea: con m = 1,0 kg el indicador vt muestra ≈ 18,46 m/s, pero duplicar la masa a 2,0 kg solo sube vt a ≈ 26,1 m/s, un factor de √2, no de 2. La relación de raíz cuadrada entre masa y velocidad terminal es una de las predicciones más contraintuitivas del modelo de arrastre, y el panel de datos la expone cuantitativamente.
La física explicada
Un objeto en caída experimenta dos fuerzas verticales: su peso W = mg actuando hacia abajo, y una fuerza de arrastre Fd actuando hacia arriba, oponiéndose al movimiento. Para objetos que se mueven a través del aire o del agua a velocidades cotidianas, el arrastre sigue la ley cuadrática Fd = ½·ρ·Cd·A·v², donde v es la rapidez instantánea. En el momento de la soltura el objeto está en reposo, de modo que el arrastre es cero y el peso completo lo acelera hacia abajo. A medida que aumenta la rapidez, el arrastre crece como v², contrarrestando cada vez más el peso y reduciendo la fuerza neta, y por tanto la aceleración.
La fuerza neta en cualquier instante es Fneta = mg − ½·ρ·Cd·A·v². Igualando Fneta = 0 y despejando v se obtiene la velocidad terminal: vt = sqrt(2mg / ρ·Cd·A). Esta es la rapidez a la que la fuerza de arrastre iguala exactamente al peso, dejando fuerza neta y aceleración nulas. La simulación muestra Fneta en el panel de datos; al iniciar con los valores predeterminados (m = 1,0 kg, CdA = 0,047 m², ρ = 1,225 kg/m³), el indicador Fneta comienza en ≈ 9,81 N (peso puro, sin arrastre) y decae suavemente hacia 0,00 N a medida que el objeto se acerca a la velocidad terminal ≈ 18,46 m/s.
El gráfico v(t) del panel derecho revela la naturaleza asintótica del proceso. La curva ámbar sube pronunciadamente al principio (cuando el arrastre es pequeño y la aceleración es grande) y luego se aplana a medida que el arrastre crece, aproximándose a la línea de referencia verde discontinua vt desde abajo sin cruzarla nunca. El enfoque es teóricamente infinito: un cuerpo en caída libre nunca alcanza exactamente vt en tiempo finito. La simulación se detiene automáticamente una vez que v está a menos del 0,1% de vt durante dos segundos continuos, lo que es operativamente indistinguible del equilibrio.
La dependencia de raíz cuadrada de vt con respecto a cada parámetro tiene importantes consecuencias de ingeniería. Duplicar la masa sube vt solo en √2 ≈ 1,41, no en 2, la simulación confirma esto con el control de masa en 2,0 kg, donde el indicador vt se actualiza a ≈ 26,1 m/s. Duplicar CdA tiene el efecto opuesto: vt baja en 1/√2. Aumentar la densidad del fluido tiene el mismo efecto reductor. Las flechas de fuerza del panel izquierdo hacen visible el equilibrio: la flecha de arrastre (apuntando hacia arriba, creciendo con v²) alcanza la misma longitud visual que la flecha de peso constante (apuntando hacia abajo) exactamente cuando el objeto está en vt.
Ecuaciones clave
Con los valores predeterminados (ρ = 1,225 kg/m³, CdA = 0,047 m²) y el objeto a v = 18,46 m/s: Fd = ½ × 1,225 × 0,047 × 18,46² = 0,5 × 1,225 × 0,047 × 340,8 ≈ 9,81 N. Esto es igual a mg = 1,0 × 9,81 N, confirmando la condición de equilibrio de fuerzas. El indicador Fneta de la simulación muestra 0,00 N a esta velocidad, coincidiendo con el resultado analítico.
Sustituyendo los valores predeterminados (m = 1,0 kg, g = 9,81 m/s², ρ = 1,225 kg/m³, CdA = 0,047 m²): vt = sqrt(2 × 1,0 × 9,81 / (1,225 × 0,047)) = sqrt(19,62 / 0,057575) = sqrt(340,8) ≈ 18,46 m/s. El indicador vt de la simulación muestra 18,46 m/s antes de que comience la ejecución (es la predicción analítica, no un valor medido) y el indicador v converge hacia él cuando la simulación se detiene.
Al inicio de la ejecución (v = 0): Fneta = 1,0 × 9,81 − 0 = 9,81 N, de modo que la aceleración = 9,81 m/s², idéntica a la caída libre. A v = 10 m/s: Fneta = 9,81 − ½ × 1,225 × 0,047 × 100 = 9,81 − 2,876 = 6,93 N. El indicador Fneta en ese momento mostraría ≈ 6,93 N, consistente con la fórmula. Cuando v llega a 18,46 m/s el indicador alcanza 0,00 N, completando la convergencia que muestra el gráfico v(t).
Con m = 1,0 kg el indicador vt muestra ≈ 18,46 m/s. Con m = 2,0 kg (todos los demás controles sin cambio) el indicador se actualiza a ≈ 26,11 m/s. La razón 26,11 / 18,46 ≈ 1,414, coincidiendo con sqrt(2) hasta tres cifras significativas. Este resultado de escala (que se deriva directamente de la fórmula) es la predicción cuantitativa central de la simulación y es lo que distingue el modelo de arrastre de la intuición ingenua.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| m | Masa | kg | Masa inercial y gravitacional del objeto en caída |
| g | Aceleración gravitacional | m/s² | Aceleración debida a la gravedad; 9,81 m/s² en la superficie terrestre |
| ρ | Densidad del fluido | kg/m³ | Densidad del fluido circundante (1,225 kg/m³ para el aire; 1000 kg/m³ para el agua) |
| Cd | Coeficiente de arrastre | adimensional | Factor dependiente de la forma que relaciona el arrastre de presión con la presión dinámica |
| A | Área transversal | m² | Área frontal proyectada del objeto perpendicular al flujo |
| vt | Velocidad terminal | m/s | Rapidez a la que la fuerza de arrastre iguala al peso; mostrada en el indicador vt |
| Fd | Fuerza de arrastre | N | Fuerza resistiva hacia arriba = ½·ρ·Cd·A·v²; cero en reposo, igual a mg en vt |
| Fneta | Fuerza neta | N | mg − Fd; impulsa la aceleración; mostrada en el indicador Fneta; llega a 0 en vt |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué los paracaidistas alcanzan unos 55 m/s en posición extendida pero casi 90 m/s de cabeza?
La fórmula vt = sqrt(2mg / ρ·Cd·A) muestra que vt depende del producto Cd·A, el coeficiente de arrastre multiplicado por el área transversal que el cuerpo presenta al flujo. Un paracaidista en postura clásica boca abajo expone un área grande (unos 0,7 m²) con un Cd cercano a 1,0, lo que da un producto Cd·A de unos 0,70 m². La orientación de cabeza reduce drásticamente el área presentada, la silueta del cuerpo se reduce a unos 0,1 m² con un Cd menor, bajando Cd·A a unos 0,09 m².
Como vt escala con la raíz cuadrada inversa de Cd·A, esta reducción de factor 8 en Cd·A eleva vt en un factor de aproximadamente sqrt(8) ≈ 2,8×. La simulación lo demuestra directamente: con m = 1,0 kg, ρ = 1,225 kg/m³ y CdA = 0,070 m² el indicador vt muestra ≈ 15,1 m/s; reduciendo CdA a 0,009 m² sube vt a ≈ 42,1 m/s, un aumento de factor 2,8, exactamente como predice la fórmula. Los paracaidistas aprovechan esto para controlar su tasa de caída y encontrarse con otros saltadores durante una caída en formación.
¿Por qué las gotas de lluvia grandes caen más rápido que las pequeñas si ambas alcanzan la velocidad terminal?
Una gota de lluvia en caída terminal satisface ½·ρaire·Cd·A·vt² = m·g. Para una esfera, la masa escala como radio³ (m ∝ r³) mientras que el área transversal escala como radio² (A ∝ r²), de modo que la razón m/A ∝ r. Al sustituir en la fórmula de velocidad terminal se obtiene vt ∝ sqrt(r), las gotas más grandes caen más rápido. Una gota de radio 1 mm alcanza unos 4 m/s; una de 2,5 mm alcanza unos 7 m/s.
La simulación captura esta escala mediante los controles de masa y CdA. Manteniendo ρ = 1,225 kg/m³ y escalando CdA como r² mientras la masa escala como r³ (de modo que CdA/m ∝ 1/r) se reproduce la tendencia sqrt(r): con m = 0,5 kg y CdA = 0,100 m² el indicador vt muestra ≈ 8,95 m/s; duplicando m a 1,0 kg y CdA a 0,200 m² se obtiene vt ≈ 8,95 m/s sin cambio, confirmando que razones m/CdA iguales dan velocidades terminales iguales sin importar el tamaño absoluto. Las gotas muy grandes (r > 3 mm) se aplanan aerodinámicamente y eventualmente se fragmentan, un régimen fuera del modelo de Cd constante que usa esta simulación.
¿Cómo controlan los diseñadores de bádminton la caída pronunciada que hace que el volante desacelere tan abruptamente?
Un volante de bádminton es uno de los proyectiles de mayor arrastre en el deporte: su cono de plumas presenta un Cd·A grande en relación a su pequeña masa (unos 5 g), lo que le da una velocidad terminal en aire de solo unos 1,6 m/s. Golpeado a hasta 130 m/s, el volante desacelera hasta la velocidad terminal en los primeros metros de vuelo, una tasa de desaceleración muy superior a cualquier deporte con pelota. Los diseñadores ajustan esto cambiando el ángulo de apertura de las plumas y la masa del corcho: un cono más abierto aumenta Cd·A y reduce vt, produciendo una caída más pronunciada; un corcho más pesado aumenta m y eleva vt, aplanando ligeramente la trayectoria.
La fórmula de velocidad terminal hace cuantitativos estos ajustes. Con m = 0,005 kg, ρ = 1,225 kg/m³ y CdA = 0,030 m², el indicador vt de la simulación muestra ≈ 1,63 m/s; aumentar CdA a 0,060 m² lo reduce a ≈ 1,15 m/s, una caída del 29% por duplicar el área, consistente con el factor 1/sqrt(2) que predice la fórmula. Los volantes de torneo se fabrican con tolerancias ajustadas precisamente porque pequeñas desviaciones en la geometría de las plumas desplazan vt lo suficiente como para cambiar detectablemente el arco de vuelo.
Lecturas adicionales
- Movimiento de proyectil con arrastre: extiende el modelo de velocidad terminal al vuelo horizontal, mostrando cómo el arrastre cuadrático transforma la parábola simétrica del vacío en un arco asimétrico que cae pronunciadamente en el lado descendente.
- Caída libre: la línea base sin arrastre: un objeto cayendo bajo la gravedad sola, estableciendo la aceleración g = 9,81 m/s² que la velocidad terminal contrarresta.
- Pluma y martillo: la clásica demostración del Apolo 15 de caída en tiempo igual en el vacío, en contraste directo con el régimen dominado por arrastre explorado aquí.