Caída vertical · FísicaFórmula del tiempo de caída y velocidad terminal
Introducción
La caída vertical es el movimiento de un objeto soltado desde el reposo y tirado hacia abajo por la gravedad. Sin lanzamiento horizontal y sin rapidez inicial, todas las fuerzas se alinean en un único eje, y la trayectoria se reduce desde las parábolas del movimiento de proyectil a una caída acelerada unidimensional. La simulación reporta Tiempo, Altura, Rapidez y EC, así las fórmulas y = h₀ − ½ g t² y v = −g t se contrastan contra una trayectoria integrada.
Este tema sostiene la mecánica porque aísla una sola fuerza y una sola dirección. Quita el aire, el contacto, los resortes y las tensiones, y solo queda la gravedad. Ese escenario limpio es donde g = 9,81 m/s² adquiere su sentido operativo: el ritmo al que un objeto en caída libre gana rapidez hacia abajo. Los ingenieros reutilizan los mismos números al dimensionar torres de impacto, elegir altitudes de despliegue de paracaídas y modelar aterrizajes de róvers en cuerpos con gravedad superficial distinta.
A primera vista parece que los objetos pesados caen más rápido que los livianos. Los datos en pantalla discrepan: con Altura = 50 m, Resistencia del Aire = 0, y Masa pasando de 1,0 kg a 10,0 kg, las lecturas de Tiempo y Rapidez al impacto son idénticas, mientras que solo la EC escala con la masa. La mayor atracción gravitatoria sobre un objeto más pesado se compensa exactamente con su mayor inercia, y esa cancelación es lo que volvió la afirmación de Galileo tan contraintuitiva en su tiempo.
La física explicada
Con Resistencia del Aire fijada en 0, la única fuerza sobre el objeto en caída es su propio peso, m·g, dirigido hacia abajo. La segunda ley de Newton a = F/m se reduce a a = g para cualquier masa, lo cual explica por qué el deslizador Masa no influye en el tiempo de caída ni en la rapidez de impacto en esta configuración. La velocidad crece linealmente a 9,81 m/s cada segundo, y la altura disminuye como la integral de esa velocidad, dando la clásica cuadrática y(t) = h₀ − ½ g t² que la simulación integra internamente y expone a través de su lectura de Altura.
Sustituir el valor por defecto Altura = 50 m en y = 0 fija el tiempo de caída en t = √(2 · 50 / 9,81) ≈ 3,193 s, y la rapidez de impacto en v = √(2 · 9,81 · 50) ≈ 31,32 m/s. Corriendo la simulación con estos valores por defecto y Masa = 1,0 kg, la lectura de Tiempo se congela entre 3,19 s y 3,20 s, y la de Rapidez entre −31,27 m/s y −31,32 m/s, dentro de aproximadamente el 0,2 % de la predicción cerrada. El signo negativo en Rapidez es la convención de la simulación para movimiento descendente; la magnitud es lo que coincide con la fórmula.
La conservación de la energía aporta una segunda comprobación independiente del cronometraje. La energía potencial gravitatoria inicial m·g·h₀ se convierte en energía cinética ½ m v² mientras el objeto cae, sin otros canales disponibles cuando el arrastre está apagado. Para los valores por defecto, m·g·h₀ = 1,0 · 9,81 · 50 = 490,5 J, y la lectura de EC de la simulación se asienta entre 489 J y 491 J al impacto. Subir Masa a 10,0 kg con la misma Altura y Resistencia del Aire apagada deja Tiempo y Rapidez sin cambios, pero multiplica la EC por diez hasta unos 4905 J, exactamente como predice m·g·h₀.
Encender Resistencia del Aire rompe ambas predicciones de manera característica. Con Resistencia del Aire en 0,05 y Masa = 1,0 kg, la lectura de Rapidez ya no crece sin límite, se curva y se aproxima a un valor terminal donde la fuerza de arrastre ascendente k·v² iguala al peso descendente m·g. El objeto pesado ahora gana la carrera: con Resistencia del Aire = 0,05 y Masa = 5,0 kg, la misma Altura = 50 m entrega un impacto más rápido que la corrida de 1,0 kg, porque la masa mayor tarda más en alcanzar una rapidez limitada por el arrastre y pasa más tiempo de la caída acelerándose libremente.
Ecuaciones clave
Para los valores por defecto Altura = 50 m y Resistencia del Aire = 0: y(t) = 50 − 4,905 · t². Igualando y = 0 se obtiene t = √(50 / 4,905) ≈ 3,193 s, que coincide con la lectura de Tiempo cuando el objeto aterriza. La lectura de Altura es el valor instantáneo de y(t) y se congela en 0,00 m al tocar la línea del suelo.
Con Resistencia del Aire = 0, la velocidad crece linealmente con el tiempo. En t = 3,193 s la fórmula predice v = −9,81 · 3,193 ≈ −31,32 m/s. La lectura de Rapidez reporta valores entre −31,27 m/s y −31,32 m/s al impacto, coincidiendo con la predicción dentro de un 0,2 % de deriva del integrador a lo largo de una caída de 3,2 segundos.
Combinar las dos fórmulas anteriores elimina el tiempo. Para Altura = 50 m: vimpact = √(2 · 9,81 · 50) = √981 ≈ 31,32 m/s, independiente de la masa. Corriendo la simulación con Masa = 1,0 kg y luego con Masa = 10,0 kg, ambas con Resistencia del Aire = 0, se obtienen lecturas de Rapidez idénticas de unos −31,32 m/s, la independencia respecto a la masa que predijo Galileo.
Para los valores por defecto Altura = 50 m, Masa = 1,0 kg, Resistencia del Aire = 0: EC = 1,0 · 9,81 · 50 = 490,5 J. La lectura de EC de la simulación se congela entre 489 J y 491 J al aterrizaje. La forma de la derecha m·g·h₀ muestra que toda la energía potencial gravitatoria inicial se convierte en energía cinética cuando no hay disipación por arrastre, esto es la conservación de la energía expresada en un único instante.
Con Resistencia del Aire activa, la simulación aplica una fuerza de arrastre cuadrática k·v² que crece con la rapidez hasta equilibrar al peso. Igualando m·g = k·v² se obtiene la rapidez terminal de arriba. Para Resistencia del Aire = 0,10 y Masa = 1,0 kg, vterminal ≈ √(9,81 / 0,10) ≈ 9,90 m/s, muy por debajo de los 31,32 m/s de una caída sin arrastre desde 50 m, y el techo al que la lectura de Rapidez se aproxima sin superar.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| h₀ | Altura inicial | m | Altitud de soltado sobre la línea del suelo |
| y | Altura | m | Posición vertical actual sobre el suelo |
| v | Velocidad | m/s | Rapidez vertical, negativa al descender |
| g | Aceleración gravitatoria | m/s² | 9,81 m/s² hacia abajo en la superficie terrestre |
| m | Masa | kg | Masa inercial y gravitatoria del objeto |
| t | Tiempo | s | Tiempo transcurrido desde la liberación |
| k | Coeficiente de arrastre | kg/m | Constante agrupada de arrastre cuadrático del deslizador |
| EC | Energía cinética | J | ½·m·v² a la rapidez actual |
Ejemplos del mundo real
¿Cuánto tarda una moneda en llegar al piso desde una mesa de un metro?
Una moneda se desliza del borde de una mesa a 1,0 m del piso y cae solo bajo la gravedad, la resistencia del aire es despreciable a las rapideces y tiempos cortos involucrados. La fórmula del tiempo de caída libre t = √(2 h₀ / g) da t = √(2 / 9,81) ≈ 0,45 s, y la rapidez de impacto es v = √(2 · 9,81 · 1) ≈ 4,43 m/s. Esa ventana corta es la razón por la que un bolígrafo soltado se siente casi demasiado rápido para reaccionar pero no de manera imposible: el tiempo de reacción humano ronda los 0,25 s, dejando aproximadamente 0,2 s de margen para atraparlo si la mano comienza a moverse en el instante en que se nota el deslizamiento.
La simulación reproduce este régimen con limpieza. Fijar Altura = 1 m y Resistencia del Aire = 0 con cualquier valor de Masa entrega una lectura de Tiempo cercana a 0,45 s y una de Rapidez cercana a −4,43 m/s, los mismos números sin importar si el deslizador Masa está en 1,0 kg o en 10,0 kg, ya que las predicciones cerradas no contienen término de masa. Duplicar Altura a 2 m sube la rapidez de impacto solo en un factor de √2 hasta unos 6,26 m/s, no por un factor de dos; la raíz cuadrada en v = √(2 g h₀) es lo que hace que una caída desde el doble de altura se sienta solo levemente más rápida.
¿Por qué una piedra cae más rápido que una pluma en el aire pero idéntico en el vacío?
En el aire, una pluma y una piedra de la misma forma experimentan fuerzas de arrastre similares pero fuerzas gravitatorias muy distintas, porque sus masas difieren en órdenes de magnitud. El arrastre de la pluma equilibra su peso casi de inmediato a una rapidez terminal lenta de quizás 1 m/s, mientras que la piedra debe caer durante varios segundos antes de que el arrastre llegue siquiera a rivalizar con su peso mucho mayor. En el vacío el término de arrastre desaparece de a = g − k v² / m, la ecuación se reduce a a = g para ambos objetos, y la caída del martillo y la pluma del Apollo 15, televisada en 1971, confirmó la predicción sobre la superficie lunar.
La simulación revela el mismo desdoblamiento con el deslizador Resistencia del Aire. Comparando Masa = 0,5 kg y Masa = 5,0 kg con Resistencia del Aire = 0,05 y Altura = 50 m, la lectura de Tiempo del objeto pesado termina notablemente antes y su lectura de Rapidez alcanza una magnitud mayor al impacto, los mismos dos ensayos con Resistencia del Aire conmutada a 0 producen lecturas idénticas de Tiempo y Rapidez, y solo divergen en la lectura de EC. Esta es la dependencia respecto a la masa apareciendo solo a través del término de arrastre m·g − k·v², no a través de la gravedad misma.
¿Cómo fija la velocidad terminal la altitud máxima segura de despliegue de un paracaídas?
Un paracaidista en posición estable boca abajo alcanza la velocidad terminal cerca de 55 m/s (alrededor de 200 km/h) en aproximadamente 12 segundos y 450 m de caída libre, más allá de esa altitud, no se acumula rapidez adicional, así que un salto desde 4000 m y un salto desde 3000 m llegan a la altura de despliegue de la copa moviéndose igual. El diseño de paracaídas explota esta meseta: el área de arrastre de una copa desplegada se dimensiona para llevar vterminal bajo la copa hasta unos sobrevivibles 5–7 m/s, fijada por m·g = ½·ρ·Cd·A·v² para la copa, la masa corporal y la altitud que elige el riggear.
El comportamiento de velocidad terminal de la simulación se traduce directamente a este problema de diseño. Con Resistencia del Aire = 0,10 y Masa = 1,0 kg, la fórmula vterminal = √(m·g/k) ≈ √(98,1) ≈ 9,90 m/s, y la lectura de Rapidez sube y luego se asienta cerca de ese valor durante la caída desde Altura = 50 m. Subir Masa a 5,0 kg con la misma Resistencia del Aire = 0,10 eleva vterminal a √(5 · 9,81 / 0,10) ≈ 22,15 m/s, y la meseta de la lectura de Rapidez la sigue, el inverso de cómo un paracaídas reduce vterminal aumentando el arrastre efectivo para una masa fija.
Lecturas adicionales
- Movimiento de proyectil: qué pasa cuando la misma aceleración gravitatoria actúa sobre un objeto que también tiene velocidad horizontal de lanzamiento.
- Movimiento de proyectil con arrastre: extiende el mismo modelo de arrastre cuadrático usado aquí a una trayectoria bidimensional y a un ángulo óptimo de lanzamiento desplazado.
- Movimiento sobre una rampa inclinada: conservación de energía reutilizada en una trayectoria con restricción, con energía potencial gravitatoria cambiada por energía cinética a lo largo de la pendiente en lugar de verticalmente.
- Máquina de Atwood: dos masas en caída acopladas por un cordón, donde el mismo planteo de la segunda ley de Newton entrega una aceleración menor que g.