Colisión elástica 1D · FísicaMomento y EC conservados
Introducción
Una colisión elástica unidimensional es un impacto de frente en el que los dos cuerpos rebotan sin perder energía cinética, de modo que el momento y la energía cinética se conservan al mismo tiempo. Esa doble restricción es lo que hace especial al caso elástico. La conservación del momento por sí sola deja un parámetro libre y admite infinitos resultados; añadir el balance de la energía cinética cierra el sistema y fija un único par de velocidades finales para cualesquiera masas y cualesquiera rapideces de acercamiento. El simulador monta el evento sobre una pista sin fricción: dos carritos parten separados 16 m, se acercan y se separan con velocidades que la solución cerrada fija de antemano.
La razón de masas hace todo el trabajo. Las masas iguales intercambian velocidades exactamente, un carrito ligero que golpea a uno pesado rebota conservando casi toda su rapidez, y un carrito pesado que golpea a uno ligero apenas nota el impacto mientras lanza al ligero a gran rapidez. El billar, la moderación de neutrones en los reactores y las asistencias gravitatorias son las mismas dos ecuaciones leídas con tres razones de masas distintas.
Lo que se espera habitualmente es que una colisión tenga que costar algo, así que los carritos deberían salir más lentos de lo que llegaron. Los indicadores lo niegan. Con Masa 1 = 1,0 kg, Masa 2 = 3,0 kg, Velocidad 1 = +4,0 m/s y Velocidad 2 = −2,0 m/s, el indicador v₁ pasa de +4,00 m/s a −5,00 m/s mientras v₂ pasa de −2,00 m/s a +1,00 m/s. El carrito 1 sale del impacto más rápido de lo que entró y, aun así, el momento se mantiene en −2,00 kg·m/s y la energía cinética en 14,00 J.
La física explicada
Dos afirmaciones hacen todo el trabajo. La tercera ley de Newton hace que los impulsos de contacto sean iguales y opuestos, de modo que el momento total m₁v₁ + m₂v₂ es el mismo antes y después del impacto. La palabra "elástica" añade la segunda afirmación: la deformación durante el contacto es totalmente reversible, nada se disipa como calor, sonido o deformación permanente, así que la energía cinética total ½m₁v₁² + ½m₂v₂² también es la misma antes y después. Con los valores predeterminados los momentos individuales son p₁ = 1,0 · 4,0 = 4,00 kg·m/s y p₂ = 3,0 · (−2,0) = −6,00 kg·m/s, y su suma de −2,00 kg·m/s es el número que el indicador de momento mantiene toda la corrida.
Resolver las dos ecuaciones a la vez da las formas cerradas que usa el simulador. Sustituyendo los valores predeterminados de m₁ = 1,0 kg, m₂ = 3,0 kg, v₁ = 4,0 m/s y v₂ = −2,0 m/s se obtiene v₁' = −5,00 m/s y v₂' = +1,00 m/s. Devolver esos valores a los balances confirma ambos: el momento resulta 1,0 · (−5,00) + 3,0 · 1,00 = −2,00 kg·m/s y la energía cinética 0,5 · 1,0 · 25,0 + 0,5 · 3,0 · 1,0 = 14,00 J, coincidiendo exactamente con los 14,00 J previos al impacto.
Las masas iguales reducen el álgebra a una regla limpia. Cuando m₁ = m₂ el coeficiente principal de cada fórmula se anula y los dos carritos simplemente intercambian velocidades. Con Masa 1 = 2,0 kg, Masa 2 = 2,0 kg, Velocidad 1 = 5,0 m/s y Velocidad 2 = −3,0 m/s el indicador v₁ cae en −3,00 m/s y el indicador v₂ en 5,00 m/s, adoptando cada carrito la velocidad de llegada del otro. El indicador de momento se queda en 4,00 kg·m/s y el de energía cinética en 34,00 J, porque un intercambio nunca puede alterar ninguna de las dos sumas.
La versión con blanco en reposo de ese intercambio es el caso particular más útil. Con Masa 1 = 2,0 kg, Masa 2 = 2,0 kg, Velocidad 1 = 6,0 m/s y Velocidad 2 = 0 m/s, el carrito 1 llega con los 36,00 J completos del sistema y sale con el indicador v₁ en 0,00 m/s mientras v₂ marca 6,00 m/s. Se transfiere cada julio. Esa entrega total ocurre solo con una razón de masas exactamente igual a uno, y la fracción transferida decae en ambas direcciones al alejarse de ella, que es el único hecho detrás del ejemplo del moderador de reactor de más abajo.
Ecuaciones clave
El momento es la suma que sobrevive a toda colisión, elástica o no. Con los valores predeterminados de m₁ = 1,0 kg, m₂ = 3,0 kg, v₁ = 4,0 m/s y v₂ = −2,0 m/s el lado izquierdo vale 1,0 · 4,0 + 3,0 · (−2,0) = −2,00 kg·m/s, y tras el impacto el lado derecho vale 1,0 · (−5,0) + 3,0 · 1,0 = −2,00 kg·m/s. El indicador de momento nunca se aparta de ese valor, y la línea punteada de referencia sobre la barra de momento total lo marca para comparar tras el impacto.
Este segundo balance es lo que hace que la colisión sea elástica y no meramente conservadora del momento. Antes del impacto con los valores predeterminados: 0,5 · 1,0 · 16,0 + 0,5 · 3,0 · 4,0 = 8,00 + 6,00 = 14,00 J. Después del impacto: 0,5 · 1,0 · 25,0 + 0,5 · 3,0 · 1,0 = 12,50 + 1,50 = 14,00 J. El indicador de energía cinética se mantiene en 14,00 J a través del instante de la colisión, que es la firma visual que separa este simulador del caso inelástico.
Resolver simultáneamente las dos ecuaciones de conservación elimina v₂' y deja esta forma cerrada. Con los valores predeterminados: v₁' = ((1,0 − 3,0) · 4,0 + 2 · 3,0 · (−2,0)) / (1,0 + 3,0) = (−8,0 − 12,0) / 4,0 = −5,00 m/s. El cambio de signo indica que el carrito 1 rebota, y su rapidez sube de 4,00 m/s a 5,00 m/s porque toma prestado momento del carrito más pesado que viene en sentido contrario.
La solución simétrica da el segundo carrito. Con los valores predeterminados: v₂' = ((3,0 − 1,0) · (−2,0) + 2 · 1,0 · 4,0) / (1,0 + 3,0) = (−4,0 + 8,0) / 4,0 = +1,00 m/s. El carrito 2 invierte su marcha de −2,00 m/s a +1,00 m/s. Hacer m₁ = m₂ anula el primer término en ambas fórmulas, que es exactamente el intercambio de velocidades que muestran las corridas con masas iguales.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| m₁, m₂ | Masas de los carritos | kg | Inercias de los dos carritos; la razón entre ellas fija todo el resultado |
| v₁, v₂ | Velocidades iniciales | m/s | Velocidades de acercamiento con signo; positivo es hacia la derecha de la pista |
| v₁', v₂' | Velocidades finales | m/s | Velocidades con signo tras el impacto, fijadas por las dos soluciones cerradas |
| p | Momento total | kg·m/s | Suma m₁v₁ + m₂v₂; idéntica antes y después de la colisión |
| EC | Energía cinética total | J | Suma de ½mv² sobre ambos carritos; se conserva solo porque el impacto es elástico |
| p₁, p₂ | Momentos individuales | kg·m/s | Las dos barras de color del panel derecho; cambian mientras su suma no lo hace |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué la bola blanca se detiene en seco al golpear de frente a otra bola de billar?
Un golpe limpio de frente entre dos bolas de la misma masa es lo más parecido en la vida diaria a una colisión elástica 1D perfecta. Las dos leyes de conservación dejan un único resultado posible: la bola en movimiento entrega toda su velocidad y la bola golpeada sale con la rapidez con la que llegó la blanca. Cualquier otro reparto cumpliría el momento pero rompería el balance de la energía cinética, así que la física sencillamente no lo permite.
El simulador reproduce el golpe directamente. Con Masa 1 = 2,0 kg, Masa 2 = 2,0 kg, Velocidad 1 = 6,0 m/s y Velocidad 2 = 0 m/s, el indicador de momento marca 12,00 kg·m/s y el de energía cinética 36,00 J. Tras el impacto el indicador v₁ baja a 0,00 m/s y el indicador v₂ sube a 6,00 m/s, mientras ambas magnitudes conservadas permanecen exactamente donde empezaron.
Las bolas reales no se detienen de forma tan perfecta porque la bola golpeada rueda en lugar de deslizar, la fricción del paño consume energía y ningún impacto es perfectamente elástico. Aun así los jugadores confían continuamente en esa idealización: el golpe de retención se enseña como tiro de referencia precisamente porque masas iguales en una colisión elástica de frente deben intercambiar velocidades por completo.
¿Por qué los reactores nucleares frenan neutrones con núcleos ligeros y no con núcleos pesados?
Un neutrón rápido solo resulta útil para sostener la fisión una vez que se ha frenado hasta rapideces térmicas, y la manera más barata de frenarlo es dejar que rebote elásticamente contra otros núcleos. Cuánta rapidez elimina un solo rebote depende por completo de la razón de masas, y por eso la elección del moderador es un problema de masas y no de química.
El simulador muestra primero el caso desfavorable. Con Masa 1 = 0,5 kg como proyectil ligero, Masa 2 = 5,0 kg como blanco pesado, Velocidad 1 = 8,0 m/s y Velocidad 2 = 0 m/s, el indicador v₁ devuelve −6,55 m/s y el indicador v₂ apenas 1,45 m/s. El cuerpo ligero rebota conservando casi toda su rapidez y el indicador de energía cinética se mantiene en 16,00 J, de los cuales el blanco pesado ha absorbido apenas un tercio.
Pasar a masas iguales transforma la transferencia. Con Masa 1 = 2,0 kg, Masa 2 = 2,0 kg, Velocidad 1 = 6,0 m/s y Velocidad 2 = 0 m/s el proyectil se detiene en seco y cada julio de los 36,00 J pasa al blanco. El hidrógeno del agua ordinaria es el núcleo común de masa más cercana a la de un neutrón, y por eso el agua y el agua pesada moderan con tanta eficacia mientras que un núcleo pesado como el plomo apenas frena a un neutrón.
¿Cómo gana rapidez una sonda espacial en una asistencia gravitatoria?
Una asistencia gravitatoria es una colisión elástica librada a distancia. Ninguna superficie se toca, pero la gravedad intercambia momento entre la sonda y el planeta igual que lo haría un resorte y, como la gravedad es conservativa, el encuentro conserva la energía cinética en el marco de los dos cuerpos igual que un impacto perfectamente elástico. El planeta es tan pesado que absorbe el cambio de momento con un desplazamiento de velocidad inmedible mientras la sonda sale transformada.
El simulador reduce el encuentro a los deslizadores. Con Masa 1 = 0,5 kg para la sonda, Masa 2 = 5,0 kg para el planeta, Velocidad 1 = 4,0 m/s y Velocidad 2 = −6,0 m/s se obtiene un indicador v₁ de −14,18 m/s tras el encuentro, frente a una rapidez de llegada de 4,00 m/s. El indicador de momento se mantiene en −28,00 kg·m/s y el de energía cinética en 94,00 J en todo momento, así que la ganancia de la sonda la paga íntegramente el cuerpo más pesado.
El intercambio parece energía gratis solo porque la parte del planeta es invisible. En el límite de un blanco muy pesado el cuerpo ligero sale con aproximadamente su propia rapidez de llegada más el doble de la rapidez del blanco, y por eso los planificadores de misión apuntan las sondas al lado delantero de un planeta en movimiento. La Voyager 2 subió de Júpiter a Neptuno con cuatro encuentros de este tipo, cada uno una versión más amplia del mismo cálculo de dos líneas.
Lecturas adicionales
- Colisiones inelásticas: el límite opuesto, donde los dos cuerpos quedan unidos, el momento sigue cuadrando y una fracción fija de la energía cinética se pierde en deformación.
- Colisiones elásticas: el mismo par de conservaciones explorado con un segundo simulador, con el coeficiente de restitución como mando entre los extremos elástico e inelástico.
- Colisiones en dos dimensiones: qué cambia cuando el impacto es descentrado y el momento debe cuadrar en dos ejes a la vez.
- Vector momento: por qué p = mv y EC = ½mv² responden de forma tan distinta al mismo cambio de masa o de rapidez, en una pista de un solo carrito.