Colisión 2D · FísicaVectores de momento en dos dimensiones
Introducción
Una colisión bidimensional ocurre cuando dos objetos en movimiento se encuentran fuera del centro, de modo que ninguno puede seguirse a lo largo de una sola línea recta. El momento aún debe equilibrarse, pero ahora como vector: la componente x se conserva por separado de la y, y las reglas de colisión elástica se reaplican a lo largo de la línea que une los dos centros en el instante del contacto. El simulador monta esto sobre una superficie sin fricción con dos pelotas iguales, un ángulo de acercamiento ajustable y lecturas en vivo de v₁, v₂, p, KE y θ₁ después.
La geometría aparece donde la energía cinética sobrevive a una colisión: billar, snooker, hockey sobre hielo, dispersión de partículas en una cámara de burbujas y sobrevuelos cometarios. Una vez identificado el eje de impacto, la única dinámica que importa es el intercambio elástico 1D a lo largo de ese eje; toda componente tangencial pasa sin alteración.
La expectativa habitual es que dos pelotas iguales chocando fuera del centro se abran de forma simétrica, ambas desviadas por el mismo ángulo. El simulador con m₁ = m₂ = 2,0 kg, v₁ = 8,0 m/s, v₂ = 0 y ángulo de acercamiento de 30° cuenta otra historia: θ₁ después se asienta en 60,0° mientras la Pelota 2 sale a −30,0°, así que las dos trayectorias salientes quedan a exactamente 90°, nunca la división simétrica en V que predice la intuición.
La física explicada
La conservación del momento es la ecuación maestra, y en dos dimensiones se desdobla en dos enunciados independientes. La componente x del momento total antes de la colisión debe igualar la componente x posterior, y lo mismo a lo largo de y. Con m₁ = m₂ = 2,0 kg, v₁ = 8,0 m/s a lo largo de +x y v₂ = 0, el total inicial es p = 16,000 kg·m/s apuntando enteramente a lo largo del eje x. La lectura p del simulador queda en 16,000 kg·m/s antes y después del impacto: la suma vectorial de los dos momentos salientes reconstruye la flecha original.
La energía cinética es la segunda cantidad conservada, y es lo que vuelve elástica a la colisión. La lectura KE parte en ½ · 2 · 8² = 64,00 J. Tras el impacto, la Pelota 1 lleva ½ · 2 · 4,00² = 16,00 J y la Pelota 2 lleva ½ · 2 · 6,93² ≈ 48,00 J, sumando 64,00 J. La lectura KE se sostiene en 64,00 J a través de la colisión; cualquier caída marcaría a la colisión como inelástica, la huella experimental que distingue a los dos regímenes.
La forma limpia de aplicar ambas leyes a la vez es trabajar en el marco de la normal de contacto: la línea que une los dos centros en el momento en que se tocan. Con el deslizador de ángulo de acercamiento en 30°, la Pelota 2 queda desplazada lateralmente del camino de la Pelota 1 en R·sin θ = 2 m, y la geometría de dos radios de 2 m que se tocan a una distancia R_SUM = 4 m da una normal inclinada 30° por debajo de la horizontal. Cada velocidad se separa en una componente normal a lo largo de esa línea y una componente tangencial perpendicular a ella.
A lo largo de la normal, el problema se colapsa a una colisión elástica 1D ordinaria. Para masas iguales con un blanco en reposo, la componente normal se transfiere por completo de la Pelota 1 a la Pelota 2. Las tangenciales quedan intactas frente al impacto sin fricción, así que la Pelota 1 conserva v₁·sin 30° = 4,00 m/s tangente a la línea de contacto y la Pelota 2 sale con v₁·cos 30° ≈ 6,93 m/s a lo largo de la normal. Las lecturas v₁ y v₂ confirman 4,00 m/s y 6,93 m/s, y θ₁ después aterriza en 60,0°, exactamente a 90° de la salida de la Pelota 2 a −30°.
Ecuaciones clave
Para la configuración por defecto, el lado izquierdo es 2 · 8 + 2 · 0 = 16,000 kg·m/s. Tras la colisión, la Pelota 1 aporta 2 · 4,00·cos 60° = 4,000 y la Pelota 2 aporta 2 · 6,93·cos(−30°) ≈ 12,000, sumando 16,000 kg·m/s, coincidiendo exactamente con la lectura p.
El momento inicial en y es cero porque ambas velocidades iniciales caen a lo largo del eje x. Tras el impacto, la Pelota 1 aporta 2 · 4,00·sin 60° ≈ +6,93 y la Pelota 2 aporta 2 · 6,93·sin(−30°) ≈ −6,93, cancelándose a cero; los empujones perpendiculares se equilibran como se requiere.
KE inicial = ½ · 2 · 64 + 0 = 64,00 J. KE final = ½ · 2 · 4,00² + ½ · 2 · 6,93² = 16,00 + 48,00 = 64,00 J. La lectura KE nunca abandona los 64,00 J, el sello experimental del régimen elástico.
Con masas iguales y la Pelota 2 en reposo, v₁ₙ' = (0 · v₁ₙ + 0) / (2·m) = 0. La normal completa de la Pelota 1 se transfiere a la Pelota 2; la Pelota 1 conserva solo su tangencial de 4,00 m/s y emerge a 60° por encima de la normal de contacto.
Para masas iguales con v₂ₙ = 0, esto se reduce a v₂ₙ' = v₁ₙ = v₁·cos 30° ≈ 6,93 m/s. La lectura v₂ se asienta en 6,93 m/s tras el impacto, y la Pelota 2 viaja a lo largo de la normal a −30° por debajo de la horizontal.
La tangencial de la Pelota 1 es v₁·sin 30° = 4,00 m/s y sobrevive al impacto sin alteración. La Pelota 2 no tenía tangencial al inicio, así que su tangencial post-colisión también es cero; los 6,93 m/s completos quedan a lo largo de la normal.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| m₁, m₂ | Masas de las pelotas | kg | Masa inercial de cada esfera que colisiona |
| v₁, v₂ | Rapideces | m/s | Magnitud del vector velocidad de cada pelota |
| θ | Ángulo de acercamiento | ° | Desplazamiento lateral de la Pelota 2 respecto al camino de la Pelota 1 |
| θ₁ después | Ángulo post-colisión | ° | Ángulo de la velocidad saliente de la Pelota 1 |
| p | Momento total | kg·m/s | Suma vectorial de los momentos de ambas pelotas |
| KE | Energía cinética total | J | Suma de ½m·v² de ambas pelotas |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué la bola blanca se detiene en seco en un golpe sobre la línea central?
Un jugador de pool que golpea de lleno a una bola objetivo en reposo con la blanca observa cómo la blanca se detiene mientras la objetivo sale disparada a la rapidez original. Las dos bolas tienen masas casi iguales, el impacto es casi elástico y el ángulo de corte es cero, así que a lo largo de la normal de contacto la velocidad entera se transfiere, como predice la regla de intercambio entre masas iguales. Cualquier rodadura hacia adelante que la blanca conserve viene del giro, no del momento traslacional.
El simulador reproduce este límite con ángulo de acercamiento en 0°, ambas masas en 2,0 kg y v₁ = 8,0 m/s. La lectura v₁ cae a 0,00 m/s y v₂ salta a 8,00 m/s; el momento total queda en 16,000 kg·m/s y KE en 64,00 J, con una pelota perfectamente sustituida por la otra. Mover el ángulo fuera de cero divide la energía entre las dos pelotas, y la blanca recupera la desviación que los jugadores aprovechan para ubicarse. La separación de 90° que emerge a cualquier ángulo distinto de cero es la línea de puntería de media bola del snooker: con masas iguales y blanco en reposo, el camino saliente de la blanca es siempre perpendicular al de la objetivo. La lectura θ₁ después se asienta en 60° cuando el ángulo es 30° y baja hacia 90° en impactos más rasantes.
¿Cómo dedujo Rutherford el núcleo atómico a partir de los ángulos de dispersión?
En 1909, Geiger y Marsden dispararon partículas alfa contra una lámina delgada de oro y contaron cuántas rebotaban a ángulos grandes. Rutherford modeló cada encuentro alfa-núcleo como una colisión elástica 2D bajo la fuerza de Coulomb y descubrió que la distribución angular requería que la carga positiva del oro estuviera empacada en una región órdenes de magnitud más pequeña que el átomo. La regla de los 90° no aplica aquí porque la alfa y el núcleo son enormemente desiguales en masa, pero la misma contabilidad de momento y energía vincula el ángulo de dispersión con el parámetro de impacto.
El simulador ilustra el límite de masas desiguales. Fijando m₁ = 1,0 kg, m₂ = 8,0 kg, v₁ = 8,0 m/s y ángulo de acercamiento 0°, la Pelota 1 rebota hacia atrás (θ₁ después aterriza cerca de 180°) mientras la pesada Pelota 2 apenas se mueve. Esa es la geometría que Rutherford vio: un proyectil ligero retrocediendo casi en línea recta desde un centro mucho más pesado, evidencia de que algo concentrado y masivo se asentaba en el corazón de cada átomo de oro.
¿Obedece un disco de hockey de aire las mismas ecuaciones que una bola de billar?
Los discos del hockey de aire se deslizan sobre un colchón de aire casi sin fricción, así que sus colisiones planas se acercan al ideal elástico 2D. Cuando dos discos de igual masa golpean fuera del centro, los jugadores ven las trayectorias salientes perpendiculares que predice la regla elástica de masas iguales, y la estrategia de dobles se construye dirigiendo rebotes al ángulo de 90° que la geometría garantiza. A diferencia del billar, casi no hay giro que complique el cuadro.
El simulador confirma la regla a lo largo del rango de impactos rasantes. Con ambas masas en 2,0 kg y v₁ = 8,0 m/s, barrer el ángulo de acercamiento de 0° pasando por 15°, 30°, 45°, 60° y 75° da lecturas θ₁ después que rastrean 90° menos el ángulo cada vez (90°, 75°, 60°, 45°, 30°, 15°), así que el ángulo entre las trayectorias salientes se mantiene fijo en 90°. El resultado es geométrico, no dinámico: cambiar v₁ de 4 m/s a 15 m/s deja a θ₁ después sin cambios, porque ambas leyes de conservación son homogéneas en velocidad.
Lecturas adicionales
- Colisiones elásticas en una dimensión: el caso frontal, donde el mismo intercambio de componente normal sucede a lo largo de un único eje.
- Colisiones inelásticas: qué cambia cuando la energía cinética se pierde en deformación, sonido o calor en lugar de conservarse.
- Impacto de pie contra balón: una aplicación cotidiana de la misma contabilidad de momento y energía a colisiones a escala deportiva.