Viscosímetro de esfera en caídaArrastre de Stokes y velocidad terminal

Introducción

Deja caer un balín de acero dentro de un frasco de glicerina y no se desploma; se desliza hacia abajo con una lentitud casi solemne que puedes seguir a simple vista. Ese descenso pausado es la huella cotidiana del arrastre viscoso, y subyace a uno de los instrumentos prácticos más antiguos de la física: el viscosímetro de esfera en caída. Al cronometrar la rapidez con que se hunde una bola calibrada, un experimentador lee el espesor del fluido circundante.

El movimiento se comporta tan bien porque una esfera pequeña que se mueve despacio a través de un líquido espeso alcanza pronto un equilibrio de fuerzas. La gravedad, reducida por la flotación, tira de ella hacia abajo; un arrastre resistivo empuja en sentido contrario, y una vez que ambos se igualan la aceleración se anula y la rapidez deja de cambiar. Ese valor estacionario es la velocidad terminal, gobernado para el flujo reptante por una regla algebraica limpia que George Stokes derivó en 1851.

Aquí la intuición tiende a confundir. Ante dos esferas, muchas personas esperan que la más pesada se hunda muchísimo más rápido, como si solo el peso gobernara la carrera hacia el fondo. En el régimen de Stokes las cantidades que mandan son el radio al cuadrado y la diferencia de densidad entre esfera y fluido, mientras que la viscosidad lo frena todo. Una esfera más densa sí se asienta más rápido, pero solo a través de esa diferencia de densidad, y la relación es mucho más suave de lo que el peso bruto sugeriría.

La física explicada

Tres fuerzas actúan sobre la esfera que se asienta. Su peso tira hacia abajo con magnitud (4/3)pi r al cubo ρ_s g. La flotación, el empuje hacia arriba del fluido desplazado, retira (4/3)pi r al cubo ρ_f g. La diferencia es la fuerza motriz neta, el peso corregido por flotación, que depende de la brecha de densidad ρ_s menos ρ_f y no de ρ_s sola. Con la esfera predeterminada (r = 3 mm, ρ_s = 2500 kg/m3) hundiéndose en glicerina a ρ_f = 1260 kg/m3, ese peso neto resulta cercano a 0,001376 N.

Oponiéndose al descenso está el arrastre de Stokes, F_d = 6 pi eta r v. El rasgo crucial es que esta resistencia crece en proporción directa a la rapidez. En el instante de la suelta la esfera está en reposo, así que el arrastre es nulo y el peso neto completo la acelera: el simulador reporta una aceleración inicial hacia abajo cercana a 4,87 m/s2 para los valores predeterminados. A medida que la esfera gana rapidez, el arrastre sube al mismo paso, la aceleración neta se reduce, y la rapidez se dobla hacia una asíntota horizontal. El panel derecho traza esa aproximación en forma adimensional, la razón de rapidez v/v_t frente al tiempo escalado t/τ, de modo que cada ajuste de los controles colapsa en la misma curva universal, 1 menos e elevado a menos t sobre tau, que sube hasta 1.

La asíntota es la velocidad terminal, alcanzada cuando el arrastre cancela exactamente el peso neto. Igualando 6 pi eta r v al peso corregido por flotación y despejando v se obtiene la fórmula de velocidad terminal de Stokes. En la configuración predeterminada el indicador de velocidad terminal se mantiene en 0,0487 m/s, y la rapidez de descenso simulada sube hasta ese valor y luego lo abraza, que en el panel adimensional es la línea punteada en v/v_t = 1. Como el arrastre y el peso neto se equilibran, la fuerza de arrastre en la velocidad terminal iguala el peso neto, unos 0,001376 N, una verificación de balance de fuerzas que la simulación respeta con precisión numérica.

Si la imagen de Stokes es confiable depende del número de Reynolds, Re = 2 ρ_f r v / eta, que compara la inercia del fluido con la resistencia viscosa. El arrastre de Stokes es exacto solo cuando Re está muy por debajo de uno. En los valores predeterminados el indicador de Reynolds se sitúa cerca de 0,74, claramente laminar. Baja la viscosidad lo suficiente o agranda la esfera y la rapidez creciente empuja Re más allá de uno, momento en que aparece una banda de advertencia naranja: la ley de arrastre lineal ya no captura el flujo real, en parte inercial.

Ecuaciones clave

Este es el resultado central. Insertando los valores predeterminados (r = 0,003 m, ρ_s = 2500 kg/m3, ρ_f = 1260 kg/m3, eta = 0,5 Pa.s, g = 9,81 m/s2) se obtiene v_t = 2 por 0,003 al cuadrado por 1240 por 9,81 dividido entre 4,5, que evalúa a 0,218959 / 4,5 = 0,04866 m/s. El indicador de velocidad terminal redondea esto a 0,0487 m/s. Observa la dependencia del radio al cuadrado: duplicar el radio a 6 mm cuadruplica la predicción a 0,1946 m/s, mientras que reducir a la mitad eta a 0,25 Pa.s la duplica a 0,0973 m/s.

El arrastre que resiste el descenso sube linealmente con la rapidez, la viscosidad y el radio. Evaluado en la velocidad terminal predeterminada (v = 0,04866 m/s, r = 0,003 m, eta = 0,5 Pa.s), da 6 por pi por 0,5 por 0,003 por 0,04866, que equivale a 0,001376 N. Ese valor coincide exactamente con el peso corregido por flotación, confirmando el balance de fuerzas que define la velocidad terminal. Como cada factor entra a la primera potencia, el arrastre en cualquier instante es simplemente proporcional a la rapidez de descenso actual.

El número de Reynolds marca el límite de validez. Usando la velocidad terminal predeterminada (v = 0,04866 m/s, ρ_f = 1260 kg/m3, r = 0,003 m, eta = 0,5 Pa.s) da 2 por 1260 por 0,003 por 0,04866 dividido entre 0,5, que es 0,736. Como 0,736 está por debajo de uno, el flujo es laminar y las fórmulas de Stokes valen. Cuando este indicador sube más allá de uno, la banda naranja señala que el modelo ha salido de su rango válido.

Variables clave

Ejemplos del mundo real

¿Cómo se mide la viscosidad de un fluido desconocido cronometrando una bola en caída?

El viscosímetro de esfera en caída convierte la velocidad de asentamiento en una medición. Como la velocidad terminal es inversamente proporcional a la viscosidad, un fluido dos veces más espeso permite que una bola calibrada se asiente solo a la mitad de la velocidad, así que leer la velocidad y reordenar la fórmula de Stokes devuelve la viscosidad desconocida. El simulador concreta la relación: con r = 3 mm, ρ_s = 2500 kg/m3 y eta = 0,5 Pa.s, el indicador de velocidad terminal reporta 0,0487 m/s. Arrastra el control de viscosidad hasta eta = 0,25 Pa.s y esa lectura asciende a 0,0973 m/s, exactamente el doble, la respuesta 1/eta en la que se apoya una medición real.

Esta ley inversa es el principio de funcionamiento del propio viscosímetro de esfera en caída. Un analista deja caer una bola de radio y densidad conocidos en el líquido de prueba, cronometra su descenso sobre una longitud marcada una vez alcanzada la velocidad estacionaria, y reordena la fórmula de Stokes para despejar la viscosidad desconocida. La glicerina, la miel, los aceites de motor y los polímeros fundidos se caracterizan así, y el método se valora porque solo necesita un cronómetro, un tubo graduado y una bola calibrada.

El detalle es que la técnica supone flujo laminar. El indicador de Reynolds reporta su validez: en los valores predeterminados se mantiene cerca de 0,74, cómodamente dentro de la franja de flujo reptante. Un analista experimentado verifica ese número antes de confiar en el resultado, eligiendo una bola lo bastante pequeña y densa para que el descenso siga siendo lento y los términos inerciales permanezcan despreciables durante todo el intervalo cronometrado.

¿Dónde importa el asentamiento viscoso lento en la naturaleza y la industria?

Cualquiera que haya visto una burbuja trepar por un frasco de miel, o una cuchara hundirse en melaza fría, ha visto esta física directamente. En jarabes y salsas espesas, a los científicos de alimentos les importa exactamente qué tan rápido migra una partícula suspendida o una bolsa de aire, porque fija la vida útil y la textura de un producto; la misma velocidad de asentamiento decide si el cacao permanece suspendido en el chocolate o el pigmento se mantiene parejo en una lata de pintura. Los lodos de perforación se diseñan al revés, lo bastante espesos para que los recortes de roca se asienten despacio y puedan ser arrastrados fuera del pozo.

La biología funciona con el mismo descenso lento. Las células, las bacterias y el plancton unicelular son lo bastante densos para hundirse en agua quieta, pero solo a paso de tortuga, razón por la cual una gota de agua de estanque dejada sin perturbar se aclara lentamente a medida que los microorganismos se asientan. Los laboratorios no pueden esperar a la gravedad, así que una centrífuga la multiplica miles de veces para impulsar el mismo asentamiento de Stokes en minutos, separando la sangre en plasma y células o sedimentando una muestra por tamaño y densidad.

A mayor escala el principio moldea entornos enteros. El limo y la arcilla que arrastra un río caen donde la corriente se frena, construyendo deltas grano a grano a medida que cada partícula alcanza su propia velocidad de asentamiento, y las plantas de tratamiento de agua lo aprovechan directamente, manteniendo el agua quieta en tanques clarificadores para que los sólidos suspendidos se hundan al fondo y el agua limpia pueda extraerse por arriba. En todos los casos la lección es la misma que muestra el simulador: en un fluido viscoso, qué tan rápido cae algo lo fijan su tamaño, su densidad y el espesor de lo que lo rodea.

Lecturas adicionales

• Velocidad terminal: la contraparte de alta velocidad con arrastre cuadrático, donde la resistencia crece como la velocidad al cuadrado en vez de linealmente.
• Caída libre y descenso: el movimiento bajo la gravedad sola, el caso límite cuando el arrastre y la flotación son ambos despreciables.
• Pluma y martillo: cómo la resistencia del aire, y no la masa, gobierna la caída cotidiana, contrastada con la caída libre en el vacío.
• Proyectil con arrastre: trayectorias remodeladas por la resistencia dependiente de la rapidez en dos dimensiones.