Graficador velocidad-tiempo
Introducción
Un cuerpo que se mueve con aceleración constante desde el reposo tiene el perfil de velocidad no trivial más simple en mecánica: v(t) = a·t. La velocidad sube linealmente con el tiempo, y la posición — encontrada al integrar la velocidad — sube cuadráticamente como x(t) = ½·a·t². El simulador en esta página grafica ambas cantidades a la vez en una gráfica de doble eje, con la curva v azul subiendo por el eje izquierdo y la curva x verde subiendo por el eje derecho. El triángulo ámbar sombreado bajo la línea v es la integral geométrica que prueba que las dos están conectadas.
El tema ancla el currículo de cinemática porque la identidad de área-bajo-la-curva-de-velocidad es la prueba visual de que la integración recupera la posición desde la velocidad. Cada problema posterior de cinemática — movimiento de proyectil, caída libre, rodar por una rampa — se apoya en la misma identidad de alguna forma, y un estudiante que pueda ver el triángulo sombreado igual al valor de la curva verde en el eje derecho en cada instante ha interiorizado el teorema básico del cálculo antes de escribir un solo signo de integral. El diseño de doble eje fuerza la relación al mismo campo visual: es imposible leer una curva sin ver la otra cambiar al unísono.
Una primera intuición común sobre la curva verde es que debería subir a la misma tasa que la línea v azul. El simulador muestra lo opuesto: con a = 2 m/s² y t = 4 s la línea v alcanza 8 m/s en el eje izquierdo mientras la curva x alcanza 16 m en el eje derecho. La lectura de desplazamiento es el doble de la lectura de velocidad en la parada natural, exactamente porque el área bajo un triángulo es base por altura dividido entre dos — geometría que la ecuación x = ½·a·t² simplemente vuelve algebraica.
La física explicada
El carrito parte del reposo en el extremo izquierdo de la pista y acelera hacia la derecha a la tasa constante fijada por el deslizador. Con el valor por defecto a = 2,0 m/s² la velocidad crece 2 m/s cada segundo; en t = 1 s la lectura muestra v = 2,00 m/s, en t = 2 s muestra v = 4,00 m/s, en t = 4 s — la parada natural — muestra v = 8,00 m/s. La línea v azul en la gráfica es una rampa recta de pendiente a, anclada en el eje izquierdo cuyas marcas están espaciadas 4 m/s hasta un techo de 20 m/s (el valor de deslizador del peor caso, 5 m/s² durante 4 s).
La posición es la integral de la velocidad, y para el perfil de aceleración constante esa integración tiene forma cerrada: x(t) = ½·a·t². Con a = 2,0 m/s² la posición crece de manera cuadrática; en t = 1 s la lectura muestra x = 1,00 m, en t = 2 s muestra x = 4,00 m, en t = 4 s muestra x = 16,00 m. La curva x verde en la gráfica es una parábola anclada en el eje derecho cuyas marcas están espaciadas 8 m hasta un techo de 40 m (el peor caso ½·5·16 = 40 m). Pausa la simulación en cualquier momento y la lectura del eje derecho de la curva verde debería coincidir con la lectura de Desplazamiento en el panel de controles con exactitud.
El triángulo ámbar sombreado bajo la línea v es la encarnación geométrica de la integral. Su área en cualquier momento equivale a base · altura / 2 = t · v / 2, que para v = a·t evalúa a ½·a·t² — exactamente el desplazamiento. Con a = 2,0 m/s² en t = 4,00 s el triángulo tiene base 4 s y altura 8 m/s, así que área = ½·4·8 = 16 m². El mismo número aparece como la lectura de Desplazamiento (16,00 m) y como el valor terminal de la curva verde en el eje derecho (16 m). Tres indicadores independientes — lectura, área y punto final de la curva — todos muestran el mismo valor porque son todos el mismo número alcanzado por tres caminos distintos.
Cambiar el deslizador de aceleración reescala ambas curvas al unísono. Con a = 5,0 m/s² la línea v alcanza 20 m/s en t = 4 s (el techo del eje izquierdo) y la curva x alcanza 40 m (el techo del eje derecho); con a = 0,5 m/s² la línea v apenas sube a 2 m/s y la curva x apenas sube a 4 m. La disposición de doble eje hace el reescalado proporcional y visible: duplicar la aceleración duplica la pendiente de la línea v y cuadruplica el desplazamiento, exactamente como v = a·t y x = ½·a·t² requieren.
Ecuaciones clave
Para el valor por defecto a = 2,0 m/s² la velocidad en t = 4 s es v = 2·4 = 8,00 m/s, exactamente el valor que la lectura de Velocidad muestra en la parada natural. La línea v azul en la gráfica traza esta relación lineal desde el origen hacia arriba con pendiente a — la firma visual de la aceleración constante.
Para el valor por defecto a = 2,0 m/s² la posición en t = 4 s es x = ½·2·16 = 16,00 m, exactamente el valor que la lectura de Desplazamiento muestra en la parada natural. La curva x verde en la gráfica traza esta relación parabólica anclada en el eje derecho. En tiempos intermedios las lecturas se pueden verificar de forma cruzada: en t = 2 s el x predicho = ½·2·4 = 4 m coincide con la lectura de Desplazamiento de 4,00 m, y la curva verde en ese momento pasa por la línea de 4 m en el eje derecho.
Combinar las dos ecuaciones de arriba elimina a: x = ½·t·v. Con a = 2,0 m/s² en t = 4 s el lado derecho es ½·4·8 = 16 m, coincidiendo con x = ½·a·t² = 16 m. Esta es la identidad geométrica que el triángulo sombreado visualiza directamente: base t por altura v dividido entre dos. El simulador convierte la identidad algebraica en un área visible, eliminando cualquier necesidad de hacer la integración de manera simbólica — está justo ahí en la gráfica.
Para movimiento desde el reposo, la velocidad media es la mitad de la velocidad final. Con el valor por defecto a = 2,0 m/s² en t = 4 s la velocidad final es 8 m/s y la media es 4 m/s. Multiplicar la velocidad media por el tiempo transcurrido da el desplazamiento: 4 m/s × 4 s = 16 m, el mismo valor que las lecturas y el eje derecho confirman. Este tercer camino al desplazamiento es por qué área-bajo-la-curva y ½·a·t² son la misma respuesta: cada uno integra la misma velocidad que sube linealmente.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| a | Aceleración constante | m/s² | Valor del deslizador, rango 0,5 a 5 m/s²; fija la pendiente de la línea v |
| v(t) | Velocidad instantánea | m/s | Equivale a a·t partiendo del reposo; graficada en el eje izquierdo |
| x(t) | Posición desde el origen | m | Equivale a ½·a·t² partiendo del reposo; graficada en el eje derecho |
| t | Tiempo transcurrido | s | Tiempo desde que comenzó el recorrido; limitado a 4 s por la parada natural |
| area | Área bajo la curva v-t | m | Desplazamiento geométrico; equivale a ½·t·v en cada instante |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué la estimación de autonomía de un coche eléctrico salta hacia arriba en el momento en que el conductor levanta el pie del acelerador?
La estimación de autonomía está calculando la integral de la velocidad sobre el tiempo y dividiéndola entre el presupuesto de energía; ambas piezas dependen directamente de la curva v-t que el coche está trazando en ese momento. Mientras acelera con fuerza, la línea v-t sube de forma empinada y el área barrida bajo ella — el desplazamiento cubierto por unidad de energía gastada — crece en proporción a ½·a·t² en lugar de v·t. El simulador hace visible esta distinción geométrica: con a = 5 m/s², el triángulo sombreado alcanza 40 m en la parada natural t = 4 s, cuatro veces el área de la misma ventana de tiempo a a = 1,25 m/s².
Levantar el pie del acelerador baja la pendiente de la línea v, así que el área acumulada por segundo de conducción deja de crecer tan rápido — pero la energía gastada por segundo cae más rápido, lo cual es por qué la estimación de autonomía sube. La curva verde del eje derecho del simulador es la misma x = ½·a·t² que el computador de autonomía integra desde los datos del velocímetro muchas veces por segundo. La gráfica de doble eje reproduce la relación exacta: cambia el deslizador a un valor más pequeño y observa cómo tanto la pendiente de la línea azul como la curvatura de la parábola verde se aplanan en proporción.
¿Cómo lee un entrenador de atletismo la fase de impulso de un velocista a partir de una cinta velocidad-tiempo?
Los entrenadores de velocidad usan cintas velocidad-tiempo de pistolas de radar para separar la fase de impulso (aceleración constante desde los tacos) de la fase de velocidad máxima (aceleración cero). Dentro de la fase de impulso la línea v-t es una rampa recta idéntica a la curva azul del simulador, y el área bajo esa rampa equivale a la distancia cubierta durante el impulso — exactamente lo que el triángulo sombreado del simulador y la curva verde del eje derecho reportan.
Con a = 5 m/s² el área del triángulo ámbar del simulador en t = 4 s es ½·4·20 = 40 m, comparable a los 30 m que un velocista de élite cubre en sus primeros 4 s de aceleración. El entrenador lee la pendiente para calificar la fase de aceleración y lee el área bajo la curva para confirmar que el desplazamiento coincide con el parcial de las puertas de cronometraje — dos números independientes desde la misma cinta, exactamente la disposición de doble eje que el simulador impone por diseño. La curva verde x del simulador hace explícita esta lectura de dos números: la pendiente de la línea azul es un diagnóstico, la altura de la curva verde al mismo tiempo es otro, y tienen que ser consistentes porque codifican la misma física.
¿Por qué la luna tarda el doble en caer la misma distancia que una piedra dejada caer libremente en la superficie lunar?
La gravedad superficial lunar g_moon ≈ 1,62 m/s² es aproximadamente una sexta parte de los 9,81 m/s² de la Tierra, y la identidad cinemática x = ½·a·t² dice que caer una distancia fija toma más tiempo en proporción inversa a la raíz cuadrada de la aceleración. Reducir la aceleración a la mitad multiplica el tiempo de caída por √2, y reducirla por un factor de seis multiplica el tiempo de caída por √6 ≈ 2,45.
El simulador hace la dependencia directa: con a = 1 m/s² la curva verde x(t) alcanza 8 m en t = 4 s, mientras que con a = 4 m/s² alcanza 32 m en el mismo tiempo — una razón de desplazamiento 4× para una razón de aceleración 4× a tiempo fijo. Invertir la relación para preguntar cuánto tarda en caer una distancia fija es la comparación estándar luna-vs-Tierra, y los números salen directamente del eje derecho de la gráfica del simulador. La disposición de doble eje hace que la escala v-vs-x sea imposible de confundir: duplicar la aceleración duplica la velocidad en la parada natural pero cuadruplica el desplazamiento, y la gráfica muestra ambos efectos en el mismo instante.
Lecturas adicionales
- Trazador de movimiento 1D — el caso de velocidad constante, donde la aceleración es cero y la línea v-t es plana en v₀ en lugar de en rampa.
- Posición de dos corredores — dos cuerpos a velocidad constante en la misma línea, con una fórmula de tiempo de encuentro y una meta a 100 m que termina la carrera.
- Caída libre — aceleración constante hacia abajo g = 9,81 m/s², la misma forma de curvas v-t y x-t que el simulador grafica, solo con un valor de aceleración fijo.
- Movimiento en una rampa inclinada — aceleración constante g·senθ a lo largo de la dirección de la pendiente, escalando las mismas relaciones v = a·t y x = ½·a·t² por el seno del ángulo de inclinación.