Tensión en dos cuerdas

Introducción

La tensión en dos cuerdas describe una de las configuraciones más comunes de toda la estática: una sola carga colgando de una unión sostenida por dos cuerdas que suben hasta anclajes fijos. Cada cuerda tira a lo largo de su propia línea, y junto con el peso hacia abajo las tres fuerzas deben equilibrarse exactamente, porque nada se mueve. La pregunta que responde el simulador es cómo se reparte el peso de la carga entre las dos cuerdas, y cómo depende ese reparto de los ángulos a los que se tienden las cuerdas.

El montaje está en todas partes una vez que lo buscas: un letrero colgante, un semáforo tendido sobre un cruce, el alambre de un cuadro, las eslingas del izado de una grúa, una línea eléctrica y una cuerda floja son todos problemas de tensión en dos cuerdas. El mismo balance de fuerzas decide si un cable está cómodamente cargado o peligrosamente sobreestirado, por lo que aparejadores, ingenieros estructurales y arboristas razonan sobre él a diario.

Una primera intuición natural es que cada cuerda simplemente soporta la mitad del peso. El simulador muestra que esto solo es cierto en un caso especial —cuerdas simétricas a un ángulo moderado— y que a medida que las cuerdas se tienden hacia la horizontal la tensión de cada una crece sin límite, superando con creces al peso que sostiene. Esa amplificación contraintuitiva es el corazón del tema.

La física explicada

La carga cuelga de una unión donde se encuentran las dos cuerdas. Allí actúan tres fuerzas: el peso m·g hacia abajo, la tensión T₁ a lo largo de la cuerda izquierda y la tensión T₂ a lo largo de la cuerda derecha. Como la unión está en equilibrio estático —no se acelera— estas tres fuerzas suman cero. Descomponerlas en componentes horizontal y vertical convierte ese único enunciado vectorial en dos ecuaciones escalares que pueden resolverse para las dos tensiones desconocidas.

En horizontal, las únicas fuerzas son las dos tensiones, que tiran en sentidos opuestos hacia sus anclajes. Para que la unión permanezca quieta, sus componentes horizontales deben cancelarse: T₁·cos θ₁ = T₂·cos θ₂, donde θ₁ y θ₂ son los ángulos que cada cuerda forma sobre la horizontal. En vertical, el tirón hacia arriba de ambas cuerdas debe sostener todo el peso: T₁·sin θ₁ + T₂·sin θ₂ = m·g. Estas son las dos condiciones de equilibrio, y el simulador las muestra directamente como las lecturas residuales ΣFx y ΣFy, que caen a 0,00 N una vez que la carga se ha asentado.

Resolver el par da una forma cerrada para cada tensión: T₁ = m·g·cos θ₂ ⁄ sin(θ₁ + θ₂) y la expresión espejo para T₂. El rasgo crucial es el denominador sin(θ₁ + θ₂). Cuando las cuerdas están empinadas y la suma de ángulos se acerca a 90°, el denominador es cercano a 1 y las tensiones son moderadas. A medida que las cuerdas se tienden y la suma de ángulos se reduce hacia cero, el denominador colapsa y las tensiones divergen. Con una carga de 2,0 kg y ambas cuerdas a 45°, cada tensión es 13,87 N —algo por encima de la mitad del peso de 19,62 N, no exactamente la mitad, porque cada cuerda también debe cancelar el tirón horizontal de la otra—.

Es tentador esperar que las magnitudes de las dos tensiones sumen el peso, pero no lo hacen. Solo las componentes verticales suman m·g; las magnitudes son mayores porque parte de cada tensión se gasta tirando de lado contra la otra cuerda. Por eso el simulador informa del equilibrio mediante las componentes residuales y no con una comprobación de «la tensión es igual al peso» —y por eso, en la simulación, el breve tirón que ves al iniciar es solo un recurso visual—. En realidad las cuerdas alcanzan estas tensiones en el instante en que se cuelga la carga, sin balanceo alguno.

Ecuaciones clave

El tirón lateral de cada cuerda debe cancelar el de la otra, o la unión se desplazaría en horizontal. Cuando los ángulos son iguales esto obliga a que las tensiones sean iguales; cuando difieren, la cuerda con el ángulo más tendido debe ajustar su tensión para igualar la componente horizontal de la otra.

Las componentes hacia arriba de las dos tensiones sostienen juntas todo el peso. En los valores por defecto de m = 2,0 kg y g = 9,81 m/s², la carga es m·g = 19,62 N, y con ambas cuerdas a 45° las dos componentes verticales 13,87·sin 45° aportan 9,81 N cada una, sumando exactamente el peso.

Combinar los dos balances aísla cada tensión. Con θ₁ = θ₂ = 45°, sin(θ₁ + θ₂) = sin 90° = 1 y cos 45° = 0,7071, lo que da T₁ = 2,0·9,81·0,7071 ⁄ 1 = 13,87 N. Tender ambas cuerdas a 15° hace que sin(θ₁ + θ₂) = sin 30° = 0,5, y cada tensión sube a 37,9 N —casi el doble del peso—.

El equilibrio estático significa que ambas componentes de fuerza residuales se anulan a la vez. El simulador lleva ΣFx y ΣFy a 0,00 N a medida que la carga se asienta; cualquier lectura no nula durante el breve tirón inicial es el sistema relajándose hacia la solución analítica, no una oscilación real.

Variables clave

Ejemplos del mundo real

¿Por qué una cuerda floja soporta mucha más tensión que el peso del equilibrista?

Una cuerda floja se hunde solo unos pocos grados bajo la horizontal con un equilibrista, lo que significa que ambos ángulos de soporte θ₁ y θ₂ son pequeños. La tensión se rige por T = m·g·cos θ ⁄ sin(θ₁ + θ₂), y cuando ambos ángulos son pequeños el denominador sin(θ₁ + θ₂) también lo es, así que la tensión se dispara muy por encima del peso de la carga.

El simulador lo concreta. Con una carga de 2,0 kg y ambas cuerdas a 45°, cada cuerda soporta 13,87 N frente a un peso de 19,62 N. Baja ambos deslizadores de ángulo a 15° y cada tensión sube a 37,9 N —casi el doble del peso por cuerda— aunque la carga no haya cambiado. Una cuerda floja real preparada para un equilibrista de 70 kg se tensa hasta varios kilonewtons precisamente para que se hunda solo un poco; cuanto más tendida está la línea, con más fuerza deben tirar cada anclaje y la propia cinta, por lo que los anclajes se diseñan con amplios márgenes de seguridad.

¿Cómo eligen los aparejadores el ángulo entre dos eslingas que levantan una carga?

Cuando una grúa levanta una carga con dos eslingas que se unen en un gancho, el ángulo que cada eslinga forma con la horizontal fija cuánta tensión soporta, y un ángulo incluido más amplio de eslingas más tendidas aumenta esa tensión de forma brusca. Es la misma geometría que modela el simulador. Manteniendo la carga en 2,0 kg y poniendo ambas cuerdas a 45° se obtienen 13,87 N en cada eslinga; tendiéndolas hacia 15° cada una llega a 37,9 N, de modo que las eslingas, los grilletes y los puntos de izado ven mucha más fuerza para una carga sin cambios.

Las tablas de aparejo recogen esto con un factor de ángulo de eslinga, y la regla práctica del sector es mantener el ángulo entre cada eslinga y la carga empinado —normalmente no más tendido que 45° a 60° respecto de la horizontal—. El caso asimétrico es igual de instructivo: poniendo la cuerda izquierda en 30° y la derecha en 60° se obtienen 9,81 N a la izquierda y 16,99 N a la derecha, lo que muestra que cuando los dos lados no son simétricos la geometría reparte la carga de forma desigual mientras los balances de fuerza horizontal y vertical siguen cumpliéndose.

¿Por qué las líneas eléctricas y los cables largos se hunden en lugar de colgar nivelados?

Tiende un cable entre dos postes y podrías esperar que se pueda tensar perfectamente recto. La geometría lo impide. Un cable verdaderamente nivelado haría que ambos ángulos θ₁ y θ₂ fueran cero, llevando sin(θ₁ + θ₂) a cero y la tensión T = m·g·cos θ ⁄ sin(θ₁ + θ₂) a infinito. Ningún cable real puede aportar una tensión infinita, así que toda línea cargada debe hundirse al menos un poco —el hundimiento es lo que da a las fuerzas de soporte una componente vertical para sostener el peso—.

El simulador tiene el mismo límite incorporado: los deslizadores de ángulo se detienen en 10°, porque bajar más lleva la tensión hacia valores poco prácticos. Con una carga de 2,0 kg y ambas cuerdas en el mínimo de 10°, cada tensión alcanza 56,5 N —casi el triple del peso de 19,62 N—. Por eso las compañías de servicios especifican un hundimiento deliberado para cada tramo de línea eléctrica, y por eso una cuerda de guitarra tensada casi recta a alta tensión se rompe con tanta facilidad al apretarla de más: cuanto más tendida está la línea, más cerca queda de la región descontrolada de la curva de tensión.

Lecturas adicionales

• Constructor de diagramas de cuerpo libre — construye e inspecciona el diagrama de fuerzas que aísla el peso y las dos tensiones, la base del análisis de dos cuerdas.
• Máquina de Atwood — la tensión de la cuerda en otra configuración de equilibrio, donde dos masas se enlazan por una polea.
• Carros de la tercera ley de Newton — cómo la tensión de una cuerda satisface el par de acción y reacción en la carga y en el anclaje.
• Fricción en un plano inclinado — otro problema que se resuelve descomponiendo fuerzas en componentes a lo largo de ejes elegidos.