Máquina de Atwood · FísicaAceleración por la diferencia de masas
Introducción
La máquina de Atwood consiste en dos masas que cuelgan de los extremos opuestos de una cuerda que pasa sobre una sola polea en la parte superior del marco. Cuando las masas son distintas, el lado más pesado cae y el más liviano sube al mismo ritmo, trazado por un tenue rastro dorado detrás de la Masa 1 en el simulador. El movimiento es uniformemente acelerado desde el reposo hasta que el bloque más pesado toca el suelo.
El matemático inglés George Atwood construyó el dispositivo original en 1784 para frenar el movimiento gravitatorio lo suficiente como para que las mediciones cronometradas a mano pudieran resolverlo. El mismo truco sigue rindiendo en el aula: ajustando dos deslizadores de masa, el simulador marca la aceleración del sistema en cualquier valor entre cero y aproximadamente nueve coma ocho uno metros por segundo cuadrado sin cambiar nunca g, aislando la segunda ley de Newton como la única variable en juego.
La intuición insiste en que cuanto más pesada sea la masa dominante, más rápido acelera el sistema sin límite. Las lecturas dicen otra cosa: con Masa 1 = 3,0 kg y Masa 2 = 1,0 kg la lectura de Aceleración se asienta en 4,91 m/s², y duplicar ambas masas a 6,0 kg y 2,0 kg deja la Aceleración fija en 4,91 m/s²; la razón impulsa la aceleración, no los totales.
La física explicada
Cada masa siente dos fuerzas: la gravedad la jala hacia abajo con m·g, y la tensión de la cuerda la jala hacia arriba con T. Como la cuerda es inextensible y la polea no tiene fricción, ambos bloques comparten la misma magnitud de aceleración (el más pesado bajando, el más liviano subiendo) y la tensión es uniforme a lo largo de toda la cuerda. La lectura de Aceleración del simulador muestra un solo valor porque ambos bloques deben moverse juntos; nunca vas a ver aceleraciones independientes en los dos lados.
La segunda ley de Newton aplicada a cada masa entrega dos ecuaciones. Para la Masa 1: m₁·g − T = m₁·a, con el bloque más pesado acelerando hacia abajo. Para la Masa 2: T − m₂·g = m₂·a, con el bloque más liviano acelerando hacia arriba. Sumar las dos ecuaciones cancela la tensión y deja a = g·(m₁ − m₂) / (m₁ + m₂). Los deslizadores por defecto del simulador, m₁ = 3,0 kg y m₂ = 1,0 kg, se enchufan en esta expresión y dan a = 9,81 · 2 / 4 = 4,905 m/s², que la lectura de Aceleración muestra como 4,91 m/s² antes de que ocurra cualquier movimiento.
Dos límites dejan clara la estructura de la fórmula. Cuando las masas son iguales, la diferencia es cero y el sistema se queda en reposo: fijar ambos deslizadores en 5,0 kg lleva la lectura de Aceleración a 0,00 m/s² y mantiene la Velocidad en cero hasta que el tope de seguridad de 30 s detiene el bucle. Cuando una masa empequeñece a la otra, la diferencia se acerca a la suma y la fórmula se acerca a g, que es caída libre disfrazada. Los ajustes reales de los deslizadores mantienen el sistema con seguridad entre los dos extremos.
La tensión sale de sustituir la aceleración en cualquiera de las ecuaciones originales. La forma cerrada es T = 2·g·m₁·m₂ / (m₁ + m₂), que siempre cae entre m₂·g y m₁·g. Con masas de 3,0 kg y 1,0 kg, T = 2 · 9,81 · 3 · 1 / 4 = 14,715 N, cómodamente por encima del peso de 9,81 N del bloque de 1,0 kg y por debajo del peso de 29,43 N del bloque de 3,0 kg. La cuerda frena cada bloque para que no caiga libremente sin llegar nunca a cancelar del todo la gravedad.
Ecuaciones clave
Con Masa 1 = 3,0 kg y Masa 2 = 1,0 kg, la fórmula da a = 9,81 · (3,0 − 1,0) / (3,0 + 1,0) = 19,62 / 4,0 = 4,905 m/s². La lectura de Aceleración del simulador muestra 4,91 m/s² antes de liberar el sistema, confirmando que la predicción en forma cerrada se ubica exactamente en la mitad de la caída libre para una razón de masas de 3 : 1.
Para los mismos valores por defecto de los deslizadores, T = 2 · 9,81 · 3,0 · 1,0 / (3,0 + 1,0) = 58,86 / 4,0 = 14,715 N. El simulador no muestra la tensión directamente, pero el valor se puede revisar a ojo: 14,715 N debe quedar entre el peso de 9,81 N del bloque de 1,0 kg y el peso de 29,43 N del bloque de 3,0 kg, y así es.
Ambos bloques parten del reposo en y = 5 m, así que cuando la Masa 1 alcanza el suelo tras caer d = 5 m con aceleración constante a = 4,905 m/s², su rapidez de impacto sale de v² = 2·a·d. Numéricamente: v = sqrt(2 · 4,905 · 5) = sqrt(49,05) ≈ 7,00 m/s. La lectura de Velocidad del simulador se detiene dentro del 0,5 % de este valor cuando la Masa 1 toca tierra.
La misma caída resuelta para el tiempo da t = sqrt(2·d / a) = sqrt(10 / 4,905) ≈ 1,43 s para los deslizadores por defecto. La lectura de Tiempo del simulador típicamente se detiene entre 1,42 y 1,44 s; la pequeña dispersión viene del subpaso de integración fijo de 1/240 s, que registra el contacto con el suelo en un desplazamiento ligeramente sobrepasado de 5 m, y del redondeo a dos decimales de la pantalla sobre el valor subyacente.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| m₁ | Masa más pesada | kg | Bloque del lado que desciende |
| m₂ | Masa más liviana | kg | Bloque del lado que sube |
| g | Aceleración gravitatoria | m/s² | Fijada en 9,81 m/s² en el simulador |
| a | Aceleración del sistema | m/s² | Magnitud compartida por ambos bloques |
| T | Tensión de la cuerda | N | Fuerza que la cuerda ejerce sobre cada bloque |
| v | Rapidez del bloque | m/s | Magnitud de la velocidad de cualquiera de los bloques |
| t | Tiempo transcurrido | s | Segundos desde la liberación desde el reposo |
| d | Desplazamiento | m | Distancia que la Masa 1 ha caído desde su altura inicial |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué los ascensores de pasajeros siempre llevan un contrapeso?
Un ascensor de pasajeros cuelga de un cable que pasa por una polea en lo alto del hueco y se conecta del otro lado a un contrapeso. La disposición es una máquina de Atwood disfrazada: la cabina es m₁ de un lado y el contrapeso es m₂ del otro. Los diseñadores típicamente dimensionan el contrapeso para que iguale aproximadamente la cabina más el 40 % de su carga nominal, así que cuando la cabina está medio llena el sistema queda casi balanceado y el motor apenas tiene que pelear contra la gravedad.
La fórmula de Atwood a = g·(m₁ − m₂) / (m₁ + m₂) explica el ahorro energético con precisión. Usando el simulador como modelo, un bloque de 5,0 kg emparejado con otro de 5,0 kg produce una lectura de Aceleración de 0,00 m/s²: sin movimiento, sin trabajo contra la gravedad. Un bloque de 3,0 kg emparejado con uno de 1,0 kg acelera a 4,905 m/s² y exige toda la potencia de lo que sea que lo levante. Los ascensores reales caen cerca del primer régimen, y por eso un motor de izaje dimensionado para una cabina medio vacía puede moverla con eficiencia.
¿Cómo convierte la polea de un mudancero de pianos un izaje pesado en un jalón liviano?
Una sola polea fija con un contrapeso del lado de atrás es la misma geometría de Atwood que usa un tramoyista para subir un piano hasta la ventana de un balcón. El mudancero cuelga del extremo lejano de la cuerda un saco de arena más pesado que el ayudante pero más liviano que el piano. La aceleración de Atwood a = g·(m₁ − m₂) / (m₁ + m₂) colapsa hacia cero a medida que los pesos de los dos lados convergen, así que el ayudante solo necesita vencer una pequeña fuerza residual para levantar el piano contra la gravedad.
El simulador demuestra el principio sin poner en riesgo ningún mueble. Fijar Masa 1 = 3,0 kg y Masa 2 = 1,0 kg da Aceleración = 4,91 m/s², el mismo valor que produce un par de 6,0 kg / 2,0 kg porque la razón es idéntica. El mudancero que trabaja con un piano de 200 kg contra un contrapeso de 180 kg enfrenta un jalón neto efectivo de apenas 20 kg, aunque los dos lados juntos pesan 380 kg. La razón de masas gobierna el izaje; la masa absoluta gobierna la fatiga en los rodamientos de la polea.
¿Con qué precisión puede un montaje de Atwood de aula medir g?
Invertir la fórmula convierte una aceleración medida en una medición de la gravedad: g = a · (m₁ + m₂) / (m₁ − m₂). Un laboratorio de secundaria típicamente cronometra una masa cayendo una distancia conocida, calcula a a partir de la cinemática y despeja g. Ensayos cuidadosos con poleas livianas y cuerdas de baja masa llegan a aproximadamente 1 % del valor de manual de 9,81 m/s²; el error residual viene de la inercia rotacional de la polea y de la pequeña masa de la cuerda, que el modelo ideal trata como cero.
El simulador asume las mismas idealizaciones de manera exacta, así que sus lecturas coinciden con la forma cerrada en lugar de con un laboratorio real. Con Masa 1 = 3,0 kg y Masa 2 = 1,0 kg el Tiempo registrado de 1,43 s y la Velocidad final de 7,00 m/s alimentan v = a·t y v² = 2·a·d para recuperar Aceleración = 4,90 m/s² y g = 4,90 · 4 / 2 = 9,80 m/s²: el valor de entrada de 9,81 m/s², devuelto dentro del redondeo a dos decimales de las lecturas. La concordancia aísla qué correcciones tendría que aplicar un laboratorio real.
Lecturas adicionales
- Movimiento en plano inclinado: la gravedad descompuesta a lo largo y perpendicular a una pendiente, el mismo razonamiento de balance de fuerzas que usa la derivación de Atwood sobre una cuerda vertical.
- Bloque con fricción sobre una superficie: la segunda ley de Newton aplicada a un solo cuerpo, con una fuerza resistiva dependiente de la velocidad reemplazando la segunda masa.
- Torque y la palanca: ventaja mecánica desde la geometría en lugar de un contrapeso, el concepto compañero del balance con poleas.
- Oscilador masa-resorte: qué pasa cuando la fuerza restauradora depende del desplazamiento en lugar de ser constante, generalizando Atwood a la dinámica oscilatoria.