Péndulo cónico
Introducción
Un péndulo cónico es una pelota sujeta a una cuerda que traza un círculo horizontal, de modo que la cuerda barre la superficie de un cono en lugar de oscilar de un lado a otro en un plano. La pelota nunca acelera ni frena una vez que se asienta en el círculo: orbita a una velocidad angular constante fijada por completo por la longitud de la cuerda L y el semiángulo θ que la cuerda forma con la vertical. Esa tasa es ω = sqrt(g / (L·cosθ)), donde g es la aceleración gravitacional. Con los valores predeterminados de la simulación (L = 0,8 m, θ = 30°), el indicador ω muestra ≈ 3,76 rad/s y el indicador de Período P muestra ≈ 1,67 s.
El sistema es una ilustración limpia de cómo una sola fuerza puede hacer dos trabajos a la vez. La tensión de la cuerda apunta a lo largo de la cuerda, así que tiene una componente vertical que sostiene la pelota contra la gravedad y una componente horizontal que tira de la pelota hacia adentro — la fuerza centrípeta que curva su trayectoria en un círculo. Los ingenieros encuentran la misma geometría en las atracciones de sillas voladoras, los reguladores de bolas de los motores y las cuerdas de pelota cautiva, donde el ángulo del cono y la tensión que exige son las cantidades que importan para el diseño y la seguridad.
Una primera intuición común es que una pelota más pesada debe orbitar de forma distinta — más lenta, o a un ángulo más bajo. La simulación muestra que esto es falso: ω no lleva ningún término de masa. Arrastra el control de masa de m = 0,5 kg a m = 2,0 kg en el estado inicial y el indicador ω se mantiene fijo en ≈ 3,76 rad/s; solo responde el indicador de Tensión, subiendo de ≈ 5,66 N a ≈ 22,66 N. La tasa orbital es independiente de la masa mientras que la tensión escala linealmente con la masa — la idea central que esta simulación hace cuantitativa.
La física explicada
Dos fuerzas actúan sobre la pelota en órbita: su peso W = mg tirando directamente hacia abajo, y la tensión de la cuerda T tirando a lo largo de la cuerda hacia el pivote. Como la cuerda está inclinada el semiángulo θ desde la vertical, la tensión se descompone en dos componentes perpendiculares — una parte vertical T·cosθ y una parte horizontal T·sinθ. La parte vertical es lo único disponible para equilibrar la gravedad, y la parte horizontal es lo único disponible para curvar la trayectoria, así que cada componente queda atada a un requisito físico distinto.
El equilibrio vertical exige T·cosθ = mg, lo que da de inmediato la tensión T = mg / cosθ. Horizontalmente, la componente hacia adentro debe suministrar la fuerza centrípeta del movimiento circular: T·sinθ = m·ω²·r, donde el radio de la órbita es r = L·sinθ. Al dividir la ecuación horizontal entre la vertical se cancelan tanto T como m y queda ω² = g / (L·cosθ). Tomando la raíz cuadrada se obtiene ω = sqrt(g / (L·cosθ)) — la masa ha desaparecido por completo.
Esa cancelación es la razón por la que la tasa orbital depende solo de la geometría. Con los valores predeterminados L = 0,8 m y θ = 30°, la fórmula da ω = sqrt(9,81 / (0,8 · 0,8660)) ≈ 3,76 rad/s, y el período se sigue como P = 2π / ω ≈ 1,67 s — ambos mostrados en el panel de datos antes incluso de iniciar la ejecución, porque son predicciones analíticas y no salidas medidas. La curva T–θ del panel derecho grafica la tensión contra el ángulo y deja un marcador en vivo en el estado actual, para que puedas ver dónde se sitúan los ajustes presentes dentro de toda la familia de soluciones.
La tensión se comporta de manera muy distinta a la tasa. Como T = mg / cosθ, crece como el recíproco de cosθ: suave a ángulos pequeños, y luego pronunciada a medida que la órbita se aplana hacia la horizontal. A θ = 30° el indicador de Tensión muestra ≈ 5,66 N para m = 0,5 kg; a θ = 60° alcanza exactamente ≈ 9,81 N — el doble del peso de la pelota — y divergiría hacia el infinito a 90°, donde ninguna tensión finita podría sostener la pelota. La simulación limita el ángulo justo por debajo de 90° (cerca de 74,5°) para que los indicadores se mantengan finitos, reflejando la realidad física de que una cuerda real se rompería mucho antes.
Ecuaciones clave
Sustituyendo los valores predeterminados (g = 9,81 m/s², L = 0,8 m, θ = 30°): ω = sqrt(9,81 / (0,8 · cos 30°)) = sqrt(9,81 / 0,6928) = sqrt(14,16) ≈ 3,76 rad/s. El indicador ω muestra 3,76 rad/s, y como no aparece término de masa, arrastrar el control de masa deja este valor intacto — el rasgo que define el sistema.
Con m = 0,5 kg y θ = 30°: T = 0,5 · 9,81 / cos 30° = 4,905 / 0,8660 ≈ 5,66 N. La tensión escala linealmente con la masa, así que duplicar la masa a 1,0 kg duplica el indicador a ≈ 11,33 N mientras ω se mantiene en 3,76 rad/s — la demostración más clara de la simulación de que la masa mueve la tensión pero no la tasa.
A partir del valor predeterminado ω ≈ 3,76 rad/s: P = 2π / 3,76 ≈ 1,67 s, coincidiendo con el indicador de Período. Como P depende de sqrt(L·cosθ), una cuerda más larga orbita más despacio: duplicar L de 0,6 m a 1,2 m a ángulo fijo multiplica el período por sqrt(2) ≈ 1,41, lo que puedes confirmar leyendo P en ambos ajustes.
Con los valores predeterminados: F_c = m·g·tanθ = 0,5 · 9,81 · tan 30° = 0,5 · 9,81 · 0,5774 ≈ 2,83 N. El mismo valor surge de la componente horizontal de la tensión, T·sinθ = 5,66 · 0,5 ≈ 2,83 N, confirmando que el tirón hacia adentro de la cuerda es exactamente lo que curva la trayectoria — el indicador F_c marca ≈ 2,83 N para coincidir.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| L | Longitud de la cuerda | m | Distancia desde el pivote hasta la pelota a lo largo de la cuerda |
| θ | Semiángulo | grados | Ángulo que la cuerda forma con la vertical; fija la anchura del cono |
| m | Masa de la pelota | kg | Masa de la pelota en órbita; afecta la tensión pero no la tasa orbital |
| g | Aceleración gravitacional | m/s² | Aceleración debida a la gravedad; 9,81 m/s² en la superficie terrestre |
| ω | Velocidad angular | rad/s | Tasa orbital = sqrt(g / L·cosθ); independiente de la masa; mostrada en el indicador ω |
| T | Tensión de la cuerda | N | Fuerza a lo largo de la cuerda = mg / cosθ; mostrada en el indicador de Tensión |
| r | Radio de la órbita | m | Radio del círculo horizontal = L·sinθ |
| v | Rapidez orbital | m/s | Rapidez tangencial = ω·r |
| P | Período | s | Tiempo de una órbita = 2π / ω; mostrado en el indicador de Período |
| F_c | Fuerza centrípeta | N | Fuerza hacia adentro = m·ω²·r = T·sinθ; mostrada en el indicador F_c |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué todas las sillas de una atracción de sillas voladoras se abren al mismo ángulo, sin importar cuán pesado sea el pasajero?
Cada cadena con su silla es un péndulo cónico, y el ángulo al que se asienta depende solo de la tasa de rotación y la longitud de la cadena, no de la masa del pasajero. La relación que lo gobierna, ω = sqrt(g / (L·cosθ)), no contiene término de masa, así que para una tasa de giro fija cada silla — lleve a un niño o a un adulto pesado — cuelga al mismo ángulo del cono.
La simulación lo muestra directamente: con L = 0,8 m y θ = 30°, el indicador de velocidad angular ω marca ≈ 3,76 rad/s tanto si el control de masa está en m = 0,5 kg como en m = 2,0 kg; solo cambia el indicador de Tensión, subiendo de ≈ 5,66 N a ≈ 22,66 N. Los diseñadores de atracciones se apoyan en esta independencia de la masa: fijan la longitud del brazo y la velocidad del motor una sola vez, y cada asiento traza el mismo círculo sin importar quién se siente. Lo que el pasajero más pesado sí exige es una cadena más fuerte — exactamente la mayor tensión que reporta el indicador.
¿Cómo usa un regulador de bolas (centrífugo) un péndulo giratorio para regular la velocidad de un motor?
Un regulador de bolas es un péndulo cónico acoplado a un motor, y como el ángulo del cono crece con la tasa de giro convierte la velocidad en una posición mecánica que estrangula el motor. A medida que ω aumenta, las bolas se abren hacia un ángulo más pronunciado; un varillaje atado a ese ángulo cierra la válvula de vapor o combustible, frenando el motor hasta que se asienta en una velocidad objetivo.
La simulación captura el acoplamiento ángulo-velocidad: manteniendo L = 0,8 m y m = 0,5 kg, subir el control de ángulo de θ = 30° a θ = 60° lleva el indicador ω de ≈ 3,76 rad/s hasta ≈ 4,95 rad/s mientras el indicador de Período P baja de ≈ 1,67 s a ≈ 1,27 s. El regulador de 1788 de James Watt usó exactamente esta retroalimentación para mantener a velocidad constante los motores de las hilanderías, y el mismo principio aún estabiliza turbinas y mecanismos de cajas de música hoy en día.
¿Por qué la cuerda de una pelota cautiva tira más fuerte a medida que la pelota gira más rápido y más horizontal?
La cuerda debe sostener el peso de la pelota y a la vez suministrar su fuerza centrípeta, y a medida que la órbita se aplana hacia la horizontal la tensión necesaria para el equilibrio vertical crece sin límite. La tensión sigue T = m·g / cosθ, así que cuando θ se acerca a 90° el cosθ del denominador se reduce hacia cero y T sube pronunciadamente.
La simulación hace concreto el crecimiento: con m = 0,5 kg, el indicador de Tensión marca ≈ 5,66 N a θ = 30°, sube a exactamente ≈ 9,81 N (el doble del peso de la pelota) a θ = 60°, y sigue trepando a medida que el ángulo se empina — por lo que el modelo limita el ángulo justo por debajo de 90° para mantener el valor finito. Una cuerda real de pelota cautiva o una cadena de una atracción de feria se dimensiona para esta tensión máxima; gira la pelota demasiado rápido y plana, y una cuerda calificada solo para el peso estático de la pelota se rompería.
Lecturas adicionales
- Fuerza normal en un plano inclinado — el mismo truco de descomponer una fuerza en componentes perpendiculares, aplicado a un bloque en una pendiente donde la fuerza normal se reparte frente a la gravedad.
- Fricción en un plano inclinado — continúa el tema de la descomposición de fuerzas, añadiendo un término de fricción al equilibrio de componentes a lo largo y a través de una superficie inclinada.
- Velocidad terminal — otro problema de dinámica resuelto por una condición de equilibrio de fuerzas, donde el arrastre en lugar de la tensión crece hasta compensar el peso.