Posición y velocidad angular · FísicaPendiente de la gráfica θ-t e igual a ω
Introducción
La posición angular θ describe hacia dónde apunta un objeto en rotación, medida en radianes desde una dirección de referencia. La velocidad angular ω describe con qué rapidez cambia ese ángulo con el tiempo. Para un cuerpo rígido que gira a ω constante, ambas magnitudes se relacionan mediante θ(t) = θ₀ + ω·t, una ecuación lineal cuya gráfica es una recta con pendiente igual a ω.
Estas dos magnitudes sustentan toda la mecánica rotacional: engranajes, motores, satélites y turbinas se reducen, en algún nivel, a seguir cómo θ se acumula a un ω dado. La fórmula v = |ω|·r conecta la descripción rotacional con la velocidad lineal del borde, razón por la cual las ruedas grandes cubren más terreno por vuelta que las pequeñas al mismo ω.
Muchas personas esperan que la rapidez del borde dependa solo de la velocidad de giro. El indicador de rapidez del borde contradice esa imagen: con ω = 3,0 rad/s fijo, desplazar el radio de 0,5 m a 2,0 m mueve el indicador de 1,50 m/s a 6,00 m/s sin cambiar la rotación. El radio pesa tanto como ω.
La física explicada
La posición angular es el análogo rotacional del desplazamiento. Mientras la cinemática lineal describe la posición de una partícula a lo largo de una recta, la cinemática rotacional describe el ángulo barrido por un radio de referencia en un cuerpo giratorio. El simulador dibuja ese radio como una línea sólida desde el centro del disco, y el indicador θ del panel de datos registra el ángulo acumulado (sin envolver) en radianes. Con ω = 3,0 rad/s y θ₀ = 0 rad, el indicador θ tras 2,0 segundos de ejecución marca 6,00 rad, lo que coincide exactamente con la fórmula θ = 0 + 3,0 × 2,0. El radio en el panel izquierdo ha completado casi una vuelta completa desde su inicio, pero la gráfica usa el valor sin envolver para que la línea nunca se reinicie.
La velocidad angular ω es la derivada temporal de la posición angular: ω = dθ/dt. Para ω constante, esa derivada es simplemente la pendiente fija de la línea θ-t. La gráfica ω-t del panel derecho del simulador lo muestra de forma directa: es una línea horizontal a la altura del valor del control deslizante, que no se inclina en ningún momento porque no actúa ninguna aceleración angular sobre el disco. Fijar ω = 6,0 rad/s duplica la pendiente de la línea θ-t y duplica simultáneamente la altura de la línea ω-t, haciendo que la relación entre ambas gráficas sea visualmente inmediata.
La rapidez del borde conecta la descripción rotacional con la velocidad lineal de cualquier punto en el borde del disco. Un punto a radio r del centro recorre una longitud de arco r·Δθ cada vez que el disco gira Δθ. Al dividir entre el tiempo se obtiene v = r·(Δθ/Δt) = r·ω. El simulador expone esto directamente: con ω = 3,0 rad/s y r = 1,2 m, el indicador de rapidez del borde muestra 3,60 m/s. Aumentar r a 2,0 m con el mismo ω eleva el indicador a 6,00 m/s, mientras que reducir r a 0,5 m lo baja a 1,50 m/s. La posición angular no cambia en absoluto con el radio: el indicador θ es idéntico en los tres ajustes de control deslizante, confirmando que θ y v son magnitudes independientes regidas por fórmulas distintas.
El signo de ω contiene información direccional. Un ω positivo gira el disco en sentido antihorario según la convención matemática estándar; la flecha de arco en el panel del disco se curva en consecuencia, dibujada en el color de la serie azul cielo. Un ω negativo invierte tanto la flecha como la pendiente de la línea θ-t, de modo que la línea desciende en lugar de ascender. Con ω = −3,0 rad/s, el indicador θ marca −6,00 rad tras 2,0 segundos, y el indicador de rapidez del borde sigue mostrando 3,60 m/s porque la rapidez del borde usa el valor absoluto |ω|·r, no la magnitud con signo.
Ecuaciones clave
Esta es la contraparte rotacional de x = x₀ + v·t para velocidad lineal constante. Con los valores por defecto del simulador de θ₀ = 0 rad y ω = 3,0 rad/s, la fórmula predice θ(10) = 0 + 3,0 × 10 = 30,00 rad tras 10 segundos de ejecución. El indicador θ del panel de datos confirma ese valor con dos decimales en t = 10,00 s. La pendiente de la gráfica θ-t es exactamente ω: medir la subida sobre el recorrido en la línea azul cielo en vivo da (30,00 − 0) / (10 − 0) = 3,00 rad/s, lo que coincide con el control deslizante de ω y el indicador ω.
Para velocidad angular constante, ω es igual al cambio en la posición angular dividido entre el tiempo transcurrido. Esto es lo que muestra la gráfica ω-t: una línea horizontal a la altura ω = 3,0 rad/s que nunca varía porque no actúa ningún torque sobre el disco. En cualquier intervalo de t = 5,0 s a t = 8,0 s, Δθ = 3,0 × (8,0 − 5,0) = 9,00 rad, lo que da ω = 9,00 / 3,00 = 3,00 rad/s. El indicador ω del panel de datos permanece en 3,00 durante toda la ejecución sin importar qué ventana temporal se inspeccione, porque ω es un parámetro de entrada, no una salida derivada, en este simulador.
La rapidez del borde es la velocidad tangencial lineal de un punto en el borde del disco, medida en m/s. Con ω = 3,0 rad/s y r = 1,2 m, la predicción es v = 3,0 × 1,2 = 3,60 m/s, que el indicador de rapidez del borde confirma. Llevar el control deslizante de velocidad angular a su máximo de 10,0 rad/s con r = 2,0 m da v = 10,0 × 2,0 = 20,00 m/s, la combinación de caso extremo. El signo de valor absoluto significa que este indicador es siempre no negativo: un disco que gira en sentido inverso a ω = −3,0 rad/s con r = 1,2 m sigue mostrando 3,60 m/s en el indicador de rapidez del borde, porque la dirección de rotación no afecta la velocidad con que el borde se desplaza por el espacio.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| θ | Posición angular | rad | Ángulo acumulado barrido por el radio de referencia desde θ₀ |
| θ₀ | Ángulo inicial | rad | Posición angular de partida en t = 0, fijada por el control deslizante de ángulo inicial |
| ω | Velocidad angular | rad/s | Tasa de cambio de la posición angular; pendiente de la gráfica θ-t |
| t | Tiempo | s | Tiempo transcurrido desde el inicio de la ejecución, mostrado en el indicador de tiempo |
| r | Radio del disco | m | Distancia del centro al borde; fijada por el control deslizante de radio del disco |
| v | Rapidez del borde | m/s | Velocidad tangencial lineal del borde; mostrada en el indicador de rapidez del borde |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué los discos duros giran a un número fijo de RPM sin importar dónde se encuentre el cabezal de lectura?
Un plato de disco duro giratorio es un cuerpo rígido: todos sus puntos comparten la misma velocidad angular ω en cualquier instante. El cabezal de lectura se desplaza radialmente hacia afuera o hacia adentro para alcanzar distintas pistas, cambiando su radio orbital r sin alterar ω. Como la rapidez del borde es v = |ω|·r, un cabezal cerca del borde exterior de un plato de 3,5 pulgadas con r = 0,047 m y ω ≈ 754 rad/s (unos 7200 RPM) recorre aproximadamente 35 m/s de velocidad lineal de superficie, mientras que el mismo cabezal cerca del centro con r = 0,02 m solo registra unos 15 m/s.
La fórmula de posición angular θ(t) = θ₀ + ω·t muestra que cada sector de una misma pista regresa al cabezal tras el mismo intervalo angular, independientemente del radio. Por eso el controlador del disco debe variar cuántos bits se empaquetan en cada pista: las pistas exteriores tienen mayor circunferencia y pueden albergar más sectores sin alterar la cadencia angular.
Con ω = 3,0 rad/s y r = 1,2 m en el simulador, el indicador de rapidez del borde marca 3,60 m/s; cambiando a r = 0,5 m con el mismo ω cae a 1,50 m/s, reproduciendo la relación v = |ω|·r que el controlador del disco aprovecha.
¿Cómo cambian los patinadores artísticos su velocidad de giro sin un torque externo?
Un patinador artístico que recoge los brazos extendidos gira más rápido sin que actúe ningún torque externo sobre su cuerpo. La ley de conservación subyacente es el momento angular L = I·ω, donde I es el momento de inercia. Al acercar los brazos se reduce I, por lo que ω debe aumentar para mantener L constante. La fórmula de posición angular θ(t) = θ₀ + ω·t sigue siendo válida en cada fase del giro, pero ω ya no es constante a lo largo de toda la maniobra: la gráfica θ-t presenta un quiebre ascendente en el momento en que los brazos se cierran, cambiando la pendiente de una subida suave a una más pronunciada.
El simulador ilustra cada fase de ω constante por separado. Ejecutar con ω = 2,0 rad/s durante varios segundos produce una pendiente suave en la gráfica θ-t; reiniciar y ejecutar con ω = 6,0 rad/s produce una pendiente tres veces más pronunciada. La acción del patinador une dos segmentos así, siendo el segundo el de mayor ω.
La gráfica ω-t permanece plana dentro de una sola ejecución porque ω se mantiene constante, pero comparar dos ejecuciones sucesivas a distintos valores de ω reproduce las dos fases que un entrenador identificaría en una grabación a cámara lenta de una entrada de giro. El trazo fantasma de la primera ejecución hace visibles ambas pendientes en el mismo par de ejes.
¿Cómo determinan los ingenieros la velocidad correcta de una correa transportadora o de transmisión de potencia?
Una correa transportadora o de transmisión de potencia rodea dos poleas de radios distintos. La correa debe desplazarse a la misma velocidad lineal en todos sus puntos, por lo que ambas poleas comparten la misma rapidez del borde v = |ω|·r aunque giren a distintas velocidades angulares. Si la polea motriz tiene radio r₁ y velocidad angular ω₁, la velocidad de la correa es v = ω₁·r₁. La polea conducida con radio r₂ debe girar a ω₂ = v / r₂ = ω₁·r₁ / r₂ para mantener la correa tensa.
La posición angular de cada polea se acumula según θ(t) = θ₀ + ω·t con su propio ω, de modo que las dos gráficas θ-t tienen pendientes distintas, inversamente proporcionales al radio de la polea. Una polea con la mitad del radio de la polea motriz gira al doble de velocidad angular, acumulando el doble de radianes en el mismo intervalo.
Con r = 0,5 m y ω = 6,0 rad/s en el simulador, el indicador de rapidez del borde muestra 3,00 m/s; una segunda polea con r = 1,5 m impulsada por la misma correa necesitaría ω = 2,0 rad/s para igualar esa velocidad de correa, reproduciendo la relación inversa que los ingenieros mecánicos aplican al dimensionar cajas de engranajes y accionamientos de transportadoras.
Lecturas adicionales
- Movimiento circular: extiende la cinemática angular a la aceleración centrípeta necesaria para mantener un objeto en una trayectoria curva, vinculando ω y r con la fuerza neta hacia adentro.
- Disco rodante: combina movimiento rotacional y traslacional, mostrando cómo la rapidez del borde v = ω·r determina la velocidad lineal de un disco que rueda sin deslizamiento.
- Péndulo simple: un sistema oscilatorio relacionado cuya posición angular sigue una dependencia temporal más compleja, en contraste con la línea θ-t recta de ω constante que se presenta aquí.