Proyectil sobre un plano inclinado · SimuladorLanza cuesta arriba
Lanza un proyectil hacia arriba por una rampa ajustable y descubre el ángulo que maximiza el alcance: el óptimo se generaliza a θ = 45° + φ/2.
Publicado: 11 de mayo de 2026 · Actualizado: 8 de junio de 2026
Objetivo
Investigar cómo el ángulo de lanzamiento θ, la rapidez inicial v₀ y el ángulo de la rampa φ determinan el alcance de un proyectil lanzado hacia arriba por un plano inclinado. Confirmar que el alcance sobre la rampa sigue R = 2·v₀²·cos(θ)·sin(θ − φ) / (g·cos²φ), y que el ángulo de lanzamiento que da el alcance máximo se generaliza desde los 45° del terreno plano hasta θ = 45° + φ/2, el ángulo que bisecta la rampa y la vertical. El proyectil es una masa puntual lanzada desde la base de la rampa sin resistencia del aire.
Configuración
- En un lienzo vacío el tercer botón muestra Reiniciar; si hay arcos anteriores en pantalla muestra Borrar; pulsa Borrar para limpiarlos. Fija el ángulo de la rampa φ en 20°, la rapidez inicial v₀ en 25 m/s y el ángulo de lanzamiento θ en 60° (los valores por defecto). La lectura θ óptimo muestra 55°.
- Pulsa Iniciar. El proyectil describe un arco hacia arriba y cae de vuelta sobre la rampa; la × marca el punto de caída. Registra el Alcance en rampa (≈ 46,4 m) y el Tiempo de vuelo (≈ 3,49 s).
- Pulsa Reiniciar: el primer arco queda en el lienzo como un trazo gris tenue. Fija el ángulo de lanzamiento en 55° (el valor que indicó la lectura θ óptimo) y pulsa Iniciar. El nuevo arco se superpone al primero, y el Alcance en rampa marca ahora su máximo (≈ 47,5 m), superando al disparo de 60°.
- Pulsa Reiniciar y luego fija el ángulo de la rampa φ en 0° (terreno plano). La lectura θ óptimo baja a 45°, recuperando el resultado ordinario de alcance de proyectil. Pulsa Iniciar para confirmar y luego pulsa Borrar para limpiar el lienzo.
Predicción analítica
El alcance medido a lo largo de una rampa ascendente de ángulo φ es R = 2·v₀²·cos(θ)·sin(θ − φ) / (g·cos²φ). Con v₀ = 25 m/s, θ = 60° y φ = 20° (de modo que θ − φ = 40°):
El tiempo de vuelo T = 2·v₀·sin(θ − φ) / (g·cos φ):
El ángulo de lanzamiento que maximiza el alcance es θ* = 45° + φ/2 = 45° + 10° = 55°, que bisecta la rampa y la vertical. En ese ángulo el alcance llega a su máximo, R_max = v₀² / (g·(1 + sin φ)) ≈ 47,5 m, algo más que los 46,4 m a 60°. Fijar φ = 0 devuelve θ* a 45° y R al valor de terreno plano v₀²·sin(2θ)/g.
Análisis de resultados
Después de cada ejecución, compara la lectura Alcance en rampa con la predicción. A θ = 60°, v₀ = 25 m/s, φ = 20° debería marcar ≈ 46,4 m y el Tiempo de vuelo ≈ 3,49 s. Vuelve a ejecutar a θ = 55° (el óptimo que indica la lectura): el alcance sube a su máximo ≈ 47,5 m, confirmando θ* = 45° + φ/2. Superpón varios ángulos de lanzamiento con Reiniciar y observa cómo la × de caída sube y baja por la rampa; el arco que llega más lejos es el lanzado a θ*. Ahora fija φ = 0: la lectura θ óptimo vuelve a 45° y todo el cuadro colapsa al alcance ordinario sobre terreno plano, el caso especial φ = 0 de la misma fórmula.
Fuente de error
Este modelo omite la resistencia del aire, el tamaño finito del proyectil (idealización de masa puntual), la curvatura de la Tierra y cualquier efecto de giro o Magnus. Tanto la predicción en forma cerrada como la simulación asumen las mismas idealizaciones (masa puntual, gravedad uniforme g = 9,81 m/s² y una rampa perfectamente recta), así que esas suposiciones se cancelan cuando comparas el valor predicho con la lectura en vez de sumarse al residuo. Cualquier pequeña diferencia entre la predicción y la lectura es por tanto numérica (paso de tiempo discreto, redondeo), no física. Cuando θ ≤ φ el disparo no sube por la rampa y el alcance colapsa a cero.
Exploración adicional
- Mantén φ = 20° y v₀ = 25 m/s y barre el ángulo de lanzamiento de 30° a 80° observando la lectura Alcance en rampa. ¿En qué ángulo es mayor el alcance? ¿Coincide con los 55° que predice la lectura θ óptimo?
- Cambia el ángulo de la rampa φ y observa la lectura θ óptimo. Confirma la relación θ* = 45° + φ/2: a φ = 0° marca 45°, a φ = 30° marca 60°. ¿Por qué una rampa más empinada pide un lanzamiento más empinado?
- Fija φ = 0° y compara el comportamiento con el caso de terreno plano: ¿vuelve el óptimo a 45°, y los ángulos complementarios (p. ej. 30° y 60°) dan otra vez igual alcance? ¿Qué rompe esa simetría cuando φ > 0?
- Con Reiniciar conservando cada arco como un trazo tenue, superpón lanzamientos a 45°, 55° y 65° sobre una rampa de 20° a rapidez fija. ¿Cuáles dos rodean al óptimo, y cuánto alcance pierdes por errar θ* por 10°?