Proyectil sobre un plano inclinado
Introducción
Un proyectil lanzado cuesta arriba por una ladera describe el mismo arco parabólico que uno disparado sobre terreno plano: la gravedad sigue tirando recto hacia abajo a 9,81 m/s² y la velocidad horizontal sigue siendo constante. Lo que cambia es dónde termina el arco. En lugar de volver a su altura de lanzamiento, el proyectil cae sobre un terreno que ha subido bajo él. Ese único cambio reconfigura la relación entre el ángulo de lanzamiento y la distancia, y desplaza el ángulo que lanza el proyectil más lejos respecto del familiar 45°.
La magnitud que gobierna todo es el ángulo de la rampa φ, la pendiente del terreno ascendente medida desde la horizontal. El alcance ahora se mide a lo largo de la superficie de la rampa en vez de sobre terreno llano, y el ángulo de lanzamiento que lo maximiza se generaliza a θ = 45° + φ/2 —un ángulo que bisecta la rampa y la vertical. El simulador dibuja la rampa, dispara el proyectil por ella e informa el Alcance en rampa, el Tiempo de vuelo y el θ óptimo para la rampa actual, de modo que la dependencia de φ puede trazarse disparo a disparo.
Una primera suposición natural es que el mejor ángulo de lanzamiento no debería importarle el terreno de delante —que 45° sigue siendo óptimo sin importar la superficie. El simulador muestra lo contrario: fija la rampa en 20° y lanza a v = 25 m/s, y un tiro de 45° alcanza solo 43,1 m por la rampa, mientras que el tiro de 55° que recomienda la lectura θ óptimo alcanza 47,5 m. La cuesta premia un lanzamiento más empinado.
La física explicada
El movimiento es movimiento de proyectil ordinario: la velocidad de lanzamiento v se separa en una componente horizontal constante vₓ = v·cos(θ) y una componente vertical v_y = v·sin(θ) que se frena por la gravedad. Lo que distingue a la rampa es la condición de caída. El proyectil aterriza no en y = 0 sino sobre la recta de la rampa y = x·tan(φ), la superficie recta que sube desde el punto de lanzamiento en la base.
Resolver el instante en que la trayectoria parabólica corta esa recta da el tiempo de vuelo T = 2·v·sin(θ − φ)/(g·cos φ). La combinación θ − φ —el ángulo de lanzamiento medido respecto a la rampa en lugar de la horizontal— controla cuánto tiempo permanece el proyectil por encima del terreno ascendente. Con v = 25 m/s, θ = 60° y φ = 20°, θ − φ = 40° y T = 2·25·sin(40°)/(9,81·cos(20°)) ≈ 3,49 s. La lectura Tiempo de vuelo del simulador muestra 3,49 s con esos valores.
Multiplicar la rapidez a lo largo de la rampa por el tiempo de vuelo y simplificar da el alcance en rampa: R = 2·v²·cos(θ)·sin(θ − φ)/(g·cos²φ). Con v = 25 m/s, θ = 60°, φ = 20°, esto da R ≈ 46,4 m, y la lectura Alcance en rampa del simulador confirma 46,4 m. Fijar φ = 0 colapsa cos²φ a 1 y convierte 2·cos(θ)·sin(θ) de nuevo en sin(2θ), recuperando exactamente el R = v²·sin(2θ)/g de terreno plano.
Maximizar R respecto a θ —derivando el factor cos(θ)·sin(θ − φ)— da el ángulo de lanzamiento óptimo θ* = 45° + φ/2. Este ángulo bisecta la dirección de la rampa y la vertical hacia arriba, el análogo en rampa de cómo 45° bisecta el terreno plano y la vertical. A v = 25 m/s en una rampa de 20°, θ* = 55° y el alcance llega a su valor máximo R_max = v²/(g·(1 + sin φ)) ≈ 47,5 m. La lectura θ óptimo del simulador informa 55° siempre que φ = 20°, y barrer el deslizador de lanzamiento confirma que el alcance llega a su máximo allí.
Ecuaciones clave
Con v = 25 m/s y θ = 60°: vₓ = 25·cos(60°) = 25·0,5 = 12,5 m/s. Igual que en terreno plano, esto permanece constante durante todo el vuelo —la rampa cambia dónde cae el proyectil, no la fuerza horizontal sobre él (no hay ninguna en el vacío).
Con φ = 20°: θ* = 45° + 10° = 55°. Con φ = 40°: θ* = 65°. Con φ = 0° la fórmula devuelve 45°, el óptimo de terreno plano. La lectura θ óptimo del simulador evalúa esta expresión para la rampa actual, así que se actualiza en cuanto se mueve el deslizador de la rampa.
Con v = 25 m/s, θ = 60°, φ = 20°, g = 9,81 m/s²: T = 2·25·sin(40°)/(9,81·cos(20°)) = 50·0,6428/(9,81·0,9397) ≈ 3,49 s. La lectura Tiempo de vuelo del simulador muestra 3,49 s. Lanzar al óptimo de 55° acorta el vuelo a unos 3,11 s, porque un tiro ajustado para máximo alcance en la rampa pasa menos tiempo subiendo en vertical.
Con v = 25 m/s, θ = 60°, φ = 20°: R = 2·625·0,5·0,6428/(9,81·0,8830) ≈ 46,4 m, coincidiendo con la lectura Alcance en rampa. En el óptimo θ = 55° el alcance sube a unos 47,5 m; bajar a θ = 45° lo reduce a 43,1 m. Cuando θ ≤ φ el factor sin(θ − φ) es cero o negativo y el alcance colapsa a cero —el tiro ya no sube por la rampa.
Con v = 25 m/s y φ = 20°: R_max = 625/(9,81·(1 + 0,342)) = 625/13,17 ≈ 47,5 m, logrado a θ = 55°. Una rampa más empinada reduce el máximo: a φ = 30° la misma rapidez alcanza solo R_max = 625/(9,81·1,5) ≈ 42,5 m en su óptimo de 60°, porque más de la energía de lanzamiento se gasta ganando altura en vez de distancia sobre el terreno.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| v | Rapidez inicial | m/s | Magnitud del vector velocidad de lanzamiento |
| θ | Ángulo de lanzamiento | ° | Ángulo de la velocidad de lanzamiento sobre la horizontal |
| φ | Ángulo de la rampa | ° | Pendiente del terreno ascendente, medida desde la horizontal |
| θ* | Ángulo óptimo | ° | Ángulo de lanzamiento que da el máximo alcance en rampa; 45° + φ/2 |
| g | Aceleración de la gravedad | m/s² | Aceleración hacia abajo por la gravedad; 9,81 m/s² en la superficie terrestre |
| T | Tiempo de vuelo | s | Tiempo desde el lanzamiento hasta que el proyectil vuelve a la rampa |
| R | Alcance en rampa | m | Distancia del punto de lanzamiento al de caída, medida sobre la rampa |
| R_max | Alcance máximo | m | Mayor alcance en la rampa, logrado a θ = θ* |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué el mejor ángulo de lanzamiento cuesta arriba es más empinado que 45°?
En terreno plano el ángulo que maximiza el alcance es 45°, el ángulo que bisecta el suelo y la vertical. Sobre una rampa ascendente de ángulo φ la superficie de caída se ha inclinado hacia arriba, así que el ángulo que bisecta la rampa y la vertical es θ* = 45° + φ/2. El lanzamiento debe inclinarse hacia el lado más empinado para mantener el proyectil en el aire el tiempo suficiente para llegar más arriba por el terreno que sube.
El simulador lo indica directamente: fija el ángulo de la rampa φ en 20° y la lectura θ óptimo muestra 55°. Barriendo el ángulo de lanzamiento a v = 25 m/s, la lectura Alcance en rampa llega a su máximo en θ = 55° con unos 47,5 m, superando los 46,4 m a 60° y los 43,1 m a 45°.
Una rampa más empinada pide un lanzamiento más empinado: a φ = 40° la lectura θ óptimo marca 65°. Fijar φ = 0° devuelve el óptimo a 45°, recuperando el resultado familiar de terreno plano como el caso especial de la misma regla.
¿En qué se diferencia un tiro cuesta arriba en golf o fútbol de uno en terreno plano?
Jugando cuesta arriba, la pelota tiene que subir hasta un punto de caída más alto que el de lanzamiento, así que la trayectoria debe ser más empinada que en terreno llano. Un jugador que apunta como si el suelo fuera plano —alrededor de 45°— desperdicia alcance.
El simulador cuantifica la penalización: con v = 25 m/s en una rampa de 20°, un lanzamiento a 45° lleva la pelota 43,1 m por la rampa, mientras que el lanzamiento óptimo de 55° alcanza 47,5 m —cerca de un 10% más para la misma rapidez. El efecto crece con la pendiente. En una rampa suave de 10° el óptimo es solo 50°, pero en una rampa pronunciada de 40° sube a 65°.
El golf y el fútbol reales añaden resistencia del aire y giro, que desplazan el óptimo práctico, pero la lección geométrica no cambia: cuesta arriba apunta más empinado que en lo llano.
¿Por qué los ángulos complementarios dejan de dar igual alcance en una rampa?
En terreno plano el alcance depende de sin(2θ), y como sin(2θ) es simétrico respecto a 45°, los ángulos complementarios que suman 90° —como 30° y 60°— dan exactamente igual alcance. El simulador lo confirma con la rampa en 0°: a v = 25 m/s tanto 30° como 60° producen un Alcance en rampa de unos 55,2 m.
En cuanto la rampa se inclina, esa simetría se rompe. El alcance en rampa depende de cos(θ)·sin(θ − φ), que ya no es simétrico respecto a un solo ángulo cuando φ es distinto de cero. Con la rampa en 20° y v = 25 m/s, un lanzamiento a 30° alcanza solo unos 21,7 m por la rampa mientras que uno a 60° alcanza 46,4 m —más del doble, aunque los dos ángulos siguen siendo complementarios.
La rampa elige un lado: los lanzamientos por encima del nuevo óptimo de 55° pierden alcance suavemente, mientras que los muy por debajo se quedan cortos de forma brusca porque clavan el proyectil contra el terreno que sube demasiado pronto.
Lecturas adicionales
- Movimiento de proyectil — la referencia en terreno plano, donde el ángulo óptimo se sitúa exactamente en 45° y los ángulos complementarios dan igual alcance.
- Proyectil desde un acantilado — el caso complementario en el que el punto de lanzamiento es más alto que el de caída en vez de más bajo.
- Proyectil con arrastre — cómo la resistencia del aire rompe la simetría del vacío y baja el ángulo óptimo, un efecto distinto de la geometría de la rampa estudiada aquí.
- Caída libre — el movimiento vertical aislado, que establece la relación g = 9,81 m/s² que fija el tiempo de vuelo y la altura.