Velocidad media vs instantánea
Una curva posición-tiempo con una secante arrastrable que se reduce hasta una tangente, ilustrando la definición límite de la velocidad instantánea.
Objetivo
Verifica la definición límite de la velocidad instantánea observando cómo una secante sobre una curva posición-tiempo se aproxima a la tangente a medida que el intervalo de tiempo Δt se reduce hacia cero. La curva sigue x(t) = 3·sen(0,5·t) + 0,8·t — un movimiento deliberadamente no uniforme — de modo que ni la velocidad media ni la instantánea son constantes, lo que hace que la distinción entre ambas sea medible y vívida.
Configuración
- Fija el deslizador Intervalo Δt en 2,0 s. Pulsa Iniciar y deja correr la simulación durante unos 5 segundos, luego pulsa Pausar. Anota las lecturas de Vel. media y Vel. inst.
- Pulsa Reiniciar. Fija Δt en 1,0 s. Pulsa Iniciar, avanza hasta aproximadamente el mismo tiempo (~5 s) y pausa. Anota ambas lecturas y observa cómo los dos valores se han acercado.
- Repite con Δt = 0,05 s — el valor mínimo. La secante azul discontinua sobre la gráfica posición-tiempo debe coincidir casi exactamente con la línea roja de la tangente, y las dos lecturas de velocidad deben diferir en menos de 0,05 m/s.
- Estando en estado Fresco, mueve el deslizador Δt lentamente desde 2,0 s hasta 0,05 s y observa cómo la secante azul discontinua rota hacia la tangente roja en tiempo real en el panel izquierdo.
Predicción analítica
La función de posición es x(t) = 3·sen(0,5·t) + 0,8·t, así que la velocidad instantánea es su derivada: v(t) = 1,5·cos(0,5·t) + 0,8. En t = 5 s la velocidad instantánea es:
La velocidad media sobre [5, 7] s (Δt = 2 s) es (x(7) − x(5)) / 2. Con x(5) = 3·sen(2,5) + 4 ≈ 5,80 m y x(7) = 3·sen(3,5) + 5,6 ≈ 4,55 m:
Cuando Δt se reduce a 0,05 s, v̄ converge a v(5) ≈ −0,40 m/s. Las dos lecturas deben coincidir dentro de ±0,02 m/s en el ajuste mínimo del deslizador.
Análisis de resultados
Mientras la simulación está pausada cerca de t ≈ 5 s, compara las lecturas de Vel. media (m/s) y Vel. inst. (m/s) para cada ajuste de Δt. Con Δt = 2,0 s las lecturas deben mostrar aproximadamente −0,62 m/s y −0,40 m/s respectivamente — una brecha de unos 0,22 m/s. Con Δt = 1,0 s la brecha se reduce a unos 0,10 m/s. En Δt = 0,05 s ambas lecturas deben mostrar aproximadamente −0,40 m/s, difiriendo en menos de 0,02 m/s. En el panel derecho la curva azul discontinua de velocidad media converge visiblemente sobre la curva roja de velocidad instantánea a medida que reduces Δt, confirmando el argumento de límite de manera geométrica.
Fuente de error
Esta simulación modela una función de posición puramente cinemática, unidimensional, sin fuerzas físicas — no hay masa, ni fricción, ni disipación de energía. La curva x(t) = 3·sen(0,5·t) + 0,8·t es una construcción matemática elegida para ser no uniforme y oscilatoria, no una trayectoria derivada de ninguna ley de fuerza real. La predicción analítica asume la evaluación exacta de sen y cos, que las funciones Math de JavaScript replican con precisión de máquina. La pequeña diferencia entre los valores predichos y mostrados es por tanto puramente numérica, no física.
Exploración adicional
- Fija Δt en su máximo (2,0 s) y observa el panel izquierdo. ¿Puedes encontrar un tiempo t donde la secante sea casi horizontal aunque la curva misma tenga una pendiente pronunciada? ¿Qué te dice eso sobre la relación entre velocidad media e instantánea?
- Con Δt = 0,05 s, compara las dos lecturas de velocidad cuando la simulación está pausada cerca de t ≈ 6,28 s (un período completo de la oscilación). ¿La velocidad instantánea está cerca de su máximo, mínimo o ninguno? ¿Coincide la velocidad media?
- Mueve Δt desde 2,0 s hasta 0,05 s mientras está pausado en t = 10 s. ¿Cuántas cifras significativas de coincidencia ves entre Vel. media y Vel. inst. con el Δt más pequeño? ¿Qué limita una mayor coincidencia?
- Deja correr la simulación hasta el final (t = 20 s) con Δt = 1,0 s. En el panel derecho, ¿dónde divergen más las curvas azul (media) y roja (instantánea) de velocidad? ¿Un Δt mayor sobrestima o subestima siempre el valor instantáneo, o cambia el signo del error?