Física del experimento de doble rendijaInterferencia de ondas y espaciado de franjas

Introducción

El experimento de doble rendija es la demostración canónica de que la luz viaja como una onda. Cuando una fuente de luz coherente ilumina dos rendijas estrechas y muy próximas, cada rendija actúa como una nueva fuente puntual de frentes de onda circulares. Esos frentes de onda se superponen más allá de la barrera y se refuerzan o se cancelan alternadamente a lo largo de una pantalla distante, pintando una escalera de franjas brillantes y oscuras llamada patrón de interferencia. El espaciado entre franjas brillantes lo fija la fórmula Δy = λL/d, donde λ es la longitud de onda de la luz, L es la distancia de las rendijas a la pantalla y d es la separación entre las rendijas.

El resultado importa más allá de los libros de óptica. La misma lógica de diferencia de camino gobierna los recubrimientos antirreflectantes de las lentes de cámara, el poder de resolución de los arreglos de radiotelescopios y el medio de registro dentro de un holograma. Comprender cómo un pequeño cambio en λ, L o d desplaza el patrón de franjas es, por tanto, una destreza que se transfiere directamente a la ingeniería óptica, la astronomía y la ciencia de la imagen. El simulador hace ajustable cada parámetro con un control y reporta el espaciado de franjas predicho en tiempo real, de modo que la fórmula analítica y el patrón renderizado puedan compararse lado a lado.

Antes de ajustar cualquier control, la mayoría de las personas espera que el espaciado de franjas crezca cuando las rendijas se separan más, razonando que un hueco más ancho dispersa más la luz. El indicador de espaciado de franjas contradice esa intuición: ensanchar d de 0,25 mm a 0,50 mm con λ = 500 nm y L = 1,0 m reduce Δy a la mitad, de 2,00 mm a 1,00 mm. Las rendijas más cercanas producen franjas más anchas, no más estrechas, porque los frentes de onda que interfieren deben barrer un ángulo mayor para acumular la diferencia de camino que separa un pico brillante de un valle oscuro.

La física explicada

Cada rendija actúa como una fuente puntual coherente de luz. Cuando un frente de onda de la rendija 1 y un frente de onda de la rendija 2 llegan a un punto de la pantalla, la magnitud decisiva es la diferencia de longitud de camino entre las dos rutas. Si esa diferencia es igual a un número entero de longitudes de onda (0, λ, 2λ, …), las dos ondas llegan en fase y se suman constructivamente, produciendo una franja brillante. Si la diferencia es igual a un múltiplo semientero (½λ, 3λ/2, …), llegan en antifase y se cancelan, produciendo una franja oscura. Esta alternancia de zonas constructivas y destructivas se repite a lo largo de la pantalla con un periodo espacial igual al espaciado de franjas Δy = λL/d.

La geometría que conecta la diferencia de camino con la posición en la pantalla es sencilla. Etiqueta las dos rendijas como S₁ y S₂, separadas una distancia d, y coloca la pantalla a una distancia L. Un punto P en la pantalla a una altura y por encima del eje central está más lejos de S₂ que de S₁ en aproximadamente d·y/L cuando L es mucho mayor que d e y. Igualar esa diferencia de camino a m·λ da la condición de franja brillante, y despejar y produce y_m = m·λL/d. Las franjas brillantes adyacentes (m y m+1) difieren en altura exactamente en Δy = λL/d, el espaciado de franjas con el que alimenta cada control del simulador.

Con λ = 500 nm, L = 1,0 m y d = 0,50 mm, la fórmula del espaciado de franjas predice Δy = (500 × 10⁻⁹ × 1.0) / (0.50 × 10⁻³) = 1,00 mm. El indicador de espaciado de franjas del simulador reporta 1,00 mm con esos valores. Deslizar λ hasta 700 nm eleva el indicador a 1,40 mm; bajar d hasta 0,25 mm con λ restaurada a 500 nm lo eleva a 2,00 mm. Cada cambio es proporcional, confirmando que la fórmula no es una aproximación dentro del rango de parámetros del simulador, sino una consecuencia geométrica exacta del régimen de ángulo pequeño.

La intensidad a lo largo de la pantalla no es simplemente encendido o apagado. Sigue una envolvente coseno cuadrado: I(y) = I₀·cos²(π·d·y / λL). La franja central en y = 0 lleva la intensidad completa I₀; la primera franja oscura se sitúa exactamente a mitad de camino entre la franja brillante central y la de primer orden. Una envolvente de difracción de una sola rendija (debida al ancho finito de cada rendija) modula este patrón a una escala más amplia, suprimiendo por completo algunas franjas de orden superior. El simulador renderiza este perfil de intensidad completo en el panel de la pantalla, de modo que las franjas exteriores más tenues y los órdenes faltantes producidos por la envolvente de difracción son visibles junto al conteo idealizado de franjas de la fórmula de diferencia de camino.

Ecuaciones clave

La diferencia de camino desde las dos rendijas hasta cualquier punto de la pantalla en el ángulo θ es d·sinθ. Cuando esa diferencia es igual a un número entero de longitudes de onda m·λ, las ondas se refuerzan. Con λ = 500 nm y d = 0,50 mm, la franja brillante de primer orden (m = 1) se sitúa en sinθ = (1 × 500 × 10⁻⁹) / (0.50 × 10⁻³) = 1.0 × 10⁻³, correspondiente a θ ≈ 0,057°. El panel de la pantalla del simulador coloca la franja m = 1 en la posición angular predicha, con el indicador de espaciado de franjas mostrando 1,00 mm a L = 1,0 m, consistente con Δy = L·tanθ ≈ L·sinθ a estos ángulos pequeños.

Las franjas oscuras aparecen cuando la diferencia de camino es un múltiplo semientero de λ, colocando las dos ondas exactamente en antifase. Para m = 0, la primera franja oscura a cada lado del centro se sitúa en sinθ = λ/(2d). Con λ = 500 nm y d = 0,50 mm, sinθ = 5 × 10⁻⁴, de modo que la franja oscura cae en y = L·sinθ = 0,50 mm desde el centro, exactamente a mitad de camino entre las franjas brillantes m = 0 y m = 1 que el indicador de espaciado de franjas confirma que están a 1,00 mm. El indicador permanece en 1,00 mm sin importar cuál control se haya movido más recientemente, actualizándose cada vez que cambia un parámetro.

Esta es la forma de ángulo pequeño (sinθ ≈ tanθ ≈ θ para θ ≪ 1 rad) que se aplica en todo el rango de parámetros del simulador. Con λ = 500 nm, L = 1,0 m, d = 0,50 mm: Δy = (500 × 10⁻⁹ × 1.0) / (0.50 × 10⁻³) = 1.00 × 10⁻³ m = 1,00 mm, coincidiendo exactamente con el indicador de espaciado de franjas. Duplicar L a 2,0 m duplica Δy a 2,00 mm; duplicar d a 1,00 mm reduce Δy a la mitad, a 0,50 mm. Ambas predicciones las confirma el indicador, lo que hace de esta ecuación la herramienta más útil para interpretar cualquier patrón de franjas que el simulador pueda producir.

El perfil coseno cuadrado gobierna no solo la posición de las franjas, sino también su brillo. En y = 0 el argumento es cero, cos²(0) = 1, y la intensidad es máxima I₀. El primer cero (franja oscura) ocurre cuando el argumento es igual a π/2, dando y = λL/(2d) = 0,50 mm para los valores estándar, consistente con la condición de franja oscura anterior. El simulador renderiza esta curva de intensidad continua junto a los marcadores discretos de franjas, de modo que el perfil suave de pico a nulo es visible en lugar de solo las posiciones centrales de las franjas.

Variables clave

Ejemplos del mundo real

¿Cómo aprovechan los recubrimientos de película delgada de las lentes de cámara la interferencia tipo doble rendija?

Los recubrimientos antirreflectantes de las lentes de cámaras y de gafas funcionan por el mismo principio de diferencia de camino que demuestra la doble rendija. Una capa delgada de fluoruro de magnesio (espesor típico ~140 nm, índice de refracción ~1,38) se deposita sobre el vidrio. La luz que se refleja en la interfaz aire-película recorre un camino media longitud de onda más corto que la luz reflejada en la interfaz película-vidrio, produciendo una interferencia destructiva que anula la reflexión para la longitud de onda de diseño. La condición refleja la fórmula de la franja oscura de la doble rendija: una diferencia de camino de (m + ½)·λ cancela las dos ondas.

Para luz verde a λ = 550 nm, el espesor de película requerido es λ/(4·n) = 550/(4 × 1,38) ≈ 100 nm. Con λ = 550 nm, L representando el sustrato de vidrio y d representando la separación efectiva de las dos interfaces, el indicador de espaciado de franjas del simulador se desplaza al ritmo de λ, confirmando que los recubrimientos más delgados (punto de diseño de λ más corta) empujan el nodo destructivo hacia el azul y los más gruesos lo empujan hacia el rojo. Los apilamientos multicapa combinan varias de estas películas para ampliar la banda suprimida en todo el espectro visible.

Fijar λ = 400 nm frente a λ = 700 nm en el simulador con L = 1,0 m y d = 0,50 mm mueve el indicador de espaciado de franjas de 0,80 mm a 1,40 mm, un cambio del 75 % impulsado solo por λ. La misma sensibilidad proporcional es lo que hace que el diseño de recubrimientos de película delgada sea crítico en longitud de onda: un error del 10 % en el espesor de película desplaza el mínimo destructivo un 10 % en longitud de onda, empujando el nulo notablemente fuera del color objetivo.

¿Por qué los radiotelescopios dispuestos en un arreglo logran el poder de resolución de un plato de kilómetros de ancho?

Un par de platos de radio separados por una línea de base B actúa como un interferómetro de doble rendija a longitudes de onda de radio. La resolución angular del par es θ ≈ λ/B, la misma geometría de espaciado de franjas de la doble rendija con d reemplazado por B y L reemplazado por la distancia a la fuente. El Very Large Array en Nuevo México usa 27 platos repartidos hasta 36 km de distancia, dando una razón línea-de-base-a-longitud-de-onda comparable a la de un telescopio óptico de varios metros de ancho a longitudes de onda centimétricas.

La fórmula del espaciado de franjas hace vívida la escala: con λ = 0,03 m (3 cm, una banda de radio común) y B = 36 000 m, θ ≈ 0,03/36000 ≈ 0,8 microradianes, mucho más fino de lo que cualquier plato individual podría lograr. En el simulador, reducir d de 0,50 mm a 0,10 mm con λ = 500 nm y L = 1,0 m aumenta el indicador de espaciado de franjas de 1,00 mm a 5,00 mm, ilustrando directamente cómo estrechar la separación de rendijas (análogo a una línea de base más corta) degrada la resolución angular.

Los arreglos de síntesis de apertura extienden este principio a miles de líneas de base haciendo girar la Tierra bajo el arreglo, reconstruyendo una apertura sintética completa a partir de las franjas de interferencia registradas. Cada par de líneas de base aporta una componente de frecuencia espacial de la imagen, exactamente como cada orden de franja aporta un armónico del patrón de intensidad en la pantalla del simulador.

¿Cómo registra la holografía una imagen tridimensional usando franjas de interferencia?

Un holograma no registra la intensidad de la luz reflejada por un objeto, sino el patrón de interferencia entre ese haz objeto y un haz de referencia coherente derivado del mismo láser. Donde los dos haces llegan en fase, la emulsión fotográfica se oscurece; donde se cancelan, queda clara. El patrón de franjas resultante codifica la profundidad de cada punto de la superficie mediante su fase local de diferencia de camino, exactamente la magnitud que captura la fórmula de posición de franjas de la doble rendija.

Con λ = 633 nm (láser de helio-neón) y un ángulo de referencia a objeto que varía a lo largo de la placa, los espaciados de franjas a lo largo de la emulsión van de decenas a cientos de micrómetros, coincidiendo con Δy = λL/d evaluado en la separación de rendijas efectiva local d. Cuando el holograma procesado se vuelve a iluminar con el haz de referencia, la luz difractada reconstruye el frente de onda original del objeto porque cada rejilla de franjas difracta la luz en el ángulo desde el que fue registrada.

El simulador ilustra cómo λ fija la escala de las franjas: deslizar λ de 400 nm a 700 nm con L = 1,0 m y d = 0,50 mm desplaza el indicador de espaciado de franjas de 0,80 mm a 1,40 mm, la misma dispersión proporcional que determina con cuánta finura debe resolver una emulsión holográfica para capturar la escena. Las emulsiones para holografía deben resolver franjas de hasta ~1 µm, unas 1000 veces más finas que la película fotográfica convencional, porque el análogo de la separación de rendijas en holografía es de muchos milímetros.

Lecturas adicionales

• Ley de Snell y refracción: cómo el cambio de velocidad de la onda en una frontera determina el ángulo de desviación, un tema complementario de la interferencia en óptica ondulatoria.
• Velocidad de onda en una cuerda: el análogo mecánico de una onda que se propaga, que muestra cómo la longitud de onda, la frecuencia y las propiedades del medio se combinan antes de que entre en juego la luz.
• Ángulo de reflexión en un espejo: la ley de la reflexión como límite geométrico del comportamiento de los frentes de onda, que sitúa la interferencia en el marco más amplio de la óptica ondulatoria.