Barras de energía del péndulo
Un péndulo en oscilación con barras de EC y EP que se intercambian; la energía total se mantiene plana sin fricción y decae con amortiguamiento
Objetivo
Verificar que la energía cinética y la potencial son complementos exactos en un péndulo sin amortiguamiento — su suma es igual a E₀ = mgL(1−cosθ₀) en cada instante. Con amortiguamiento añadido, confirmar que la envolvente de la energía total decae como E₀·e^(−2γt) donde γ = b/(2mL²), mientras la forma del intercambio EC↔EP permanece sin cambio. Idealizaciones clave: lenteja de masa puntual, varilla rígida sin masa, sin arrastre aerodinámico más allá del término de amortiguamiento lineal.
Configuración
- Fija el Ángulo inicial θ₀ en 30°, el Amortiguamiento b en 0, la Masa de la lenteja m en 1,0 kg y la Longitud de la varilla L en 1,0 m. Anota el indicador EP inicial — debería leer ≈ 1,314 J y EC debería leer 0,000 J.
- Pulsa Iniciar y observa oscilar las barras EC y EP. Observa que la barra de E total se mantiene plana y el indicador de E total no cambia. Registra el valor de E total en t = 0, t = 5 y t = 10 segundos.
- Pulsa Reiniciar. Fija el Amortiguamiento b en 0,5 N·m·s/rad (los demás controles sin cambio). Pulsa Iniciar y observa la barra de E total — ahora debería disminuir visiblemente con el tiempo, mientras EC y EP siguen reflejándose mutuamente.
- Pulsa Reiniciar. Fija el Amortiguamiento b en 2,0 y luego pulsa Iniciar. Confirma que el sistema pierde casi toda la energía en unos 5 segundos — las barras se encogen hasta casi cero.
- Pulsa Reiniciar. Con b = 0, barre el control de Ángulo inicial de 5° a 30° sin iniciar: observa cómo la altura de la barra EP (= E₀) cambia en cada ángulo, y registra la EP predicha para θ₀ = 30°.
Predicción analítica
Para θ₀ = 30°, m = 1 kg, L = 1 m, g = 9,81 m/s², la energía total inicial es:
Con b = 0, la E total se mantiene en 1,314 J durante toda la ejecución de 30 s. Con b = 0,5, γ = b/(2mL²) = 0,5/(2·1·1) = 0,25 s⁻¹, y en t = 5 s:
Con b = 2, γ = 1,0 s⁻¹, en t = 5 s: E(5) ≈ 1,314·e^(−10) ≈ 1,3 × 10⁻⁴ J — efectivamente cero.
Análisis de resultados
Con b = 0, lee el indicador de E total en t = 0, t = 5 y t = 10 s. Los tres valores deberían coincidir con ≈ 1,314 J (dentro de ±0,03 J, es decir, ±1 %). En cualquier momento, verifica que EC + EP ≈ E total sumando mentalmente los indicadores keOut y peOut — deberían sumar el valor de eOut. Con b = 0,5, lee eOut en t = 5 s: esperado ≈ 0,236 J. La traza de energía contra tiempo del panel derecho debería mostrar una curva exponencial suave desde 1,314 J en t = 0 curvándose hacia cero. Con b = 2,0, observa que las barras colapsan hasta casi cero dentro de los primeros 5 segundos — el indicador eOut debería leer por debajo de 0,010 J hacia t ≈ 3 s. Confirma que en cualquier instante de una ejecución sin amortiguamiento, las alturas de las barras EC y EP suman 1,0 en el gráfico normalizado.
Fuente de error
Esta simulación modela la lenteja como una masa puntual en una varilla rígida sin masa — un péndulo simple verdadero. El término de amortiguamiento es puramente amortiguamiento viscoso rotacional (τ_amortiguamiento = −b·ω), un modelo lineal que no captura el arrastre aerodinámico (cuadrático en la velocidad) ni la fricción del pivote. La condición inicial supone que el péndulo se libera desde el reposo (ω₀ = 0), así que toda la energía inicial es potencial. La predicción analítica usa las mismas suposiciones de masa puntual y amortiguamiento lineal, así que estas idealizaciones se cancelan en la comparación. La brecha residual entre los 1,314 J predichos y el indicador eOut simulado es por tanto puramente numérica — error de integración RK4 a lo largo de la ejecución, no una discrepancia física.
Exploración adicional
- Fija θ₀ en 5° (ángulo pequeño) y ejecuta con b = 0. Compara el periodo con T ≈ 2π·sqrt(L/g) ≈ 2,007 s. Ahora aumenta θ₀ a 30° — el periodo se alarga alrededor de un 1,7 % (corrección anarmónica θ₀²/16). Cuenta diez oscilaciones completas de las barras en cada ángulo y compara los tiempos transcurridos: las corridas de ángulo grande se quedan medible y progresivamente detrás del reloj de ángulo pequeño.
- Con b = 0, cambia la masa de la lenteja m de 0,1 kg a 2,0 kg. ¿Cambian las alturas de barra normalizadas (EC/E₀, EP/E₀)? ¿Cambia la tasa de oscilación de las barras (el período)? ¿Por qué la masa escala las energías absolutas pero deja intacta la dinámica de las razones?
- Mantén m = 1 kg, b = 0, θ₀ = 30° y barre la longitud de la varilla L de 0,5 m a 2,0 m. El período T ∝ √L — duplicar L multiplica el período por √2 ≈ 1,41, ralentizando visiblemente la oscilación de las barras. Verifícalo contando ciclos de barra durante 10 segundos con L = 1 y L = 2.
- Fija b = 0,05 (amortiguamiento muy ligero) y ejecuta los 30 s completos. ¿La traza de E total muestra un decaimiento claramente exponencial o una línea casi plana? Calcula γ = 0,05/(2·1·1) = 0,025 s⁻¹ y la fracción restante predicha a los 30 s: e^(−1,5) ≈ 0,22 — solo queda alrededor del 22 % de la energía (≈78 % se ha disipado). Compara con la traza.