Aceleración variable
Introducción
La aceleración variable describe el movimiento en el que la tasa de cambio de la velocidad varía con el tiempo. A diferencia de la aceleración uniforme — donde un valor constante de a produce un gráfico de velocidad lineal — la aceleración variable genera trazas curvas de velocidad y posición cuya forma depende por completo del perfil a(t) que impulsa el movimiento.
El tema es central en la cinemática porque casi toda aceleración real es variable: el empuje de un cohete crece a medida que se consume el propelente, la desaceleración de un auto en frenada aumenta conforme se calientan las pastillas, y las oscilaciones sísmicas del suelo duran decenas de segundos de forma irregular. Manejar estos perfiles requiere integración — la herramienta matemática que convierte a(t) en v(t) y en x(t).
Una intuición frecuente es que duplicar la altura de un tramo de la curva de aceleración duplica la velocidad final. La simulación muestra que el efecto depende del área completa bajo la curva a(t): un pico breve e intenso contribuye el mismo Δv que una meseta larga y suave de igual área. La forma y la duración importan juntas, no solo el valor máximo.
La física explicada
La aceleración se define como la derivada temporal de la velocidad: a = dv/dt. Cuando la aceleración es constante esta relación se integra directamente como v = v₀ + a·t. Cuando varía, la integral debe rastrear cada valor instantáneo: v(t) = v₀ + ∫a(τ)dτ de 0 a t. La simulación evalúa esta integral numéricamente en cada paso de tiempo, acumulando el producto a·Δt en el total de velocidad. Al dibujar una línea horizontal a = 2 m/s² en el lienzo de aceleración y pulsar Iniciar, el gráfico v(t) sube exactamente 2 m/s por segundo — la referencia de aceleración constante.
La posición se obtiene con una segunda integración: x(t) = x₀ + ∫v(τ)dτ de 0 a t. La simulación aplica el mismo paso numérico a la traza de velocidad ya calculada, acumulando v·Δt en el total de posición. Esta cadena significa que cualquier rasgo dibujado en el lienzo de aceleración se propaga dos veces: primero al gráfico de velocidad y luego al de posición. Un pico abrupto hacia arriba en a(t) produce una subida pronunciada en v(t) y un punto de inflexión en x(t) en el mismo instante.
La interpretación de área es la clave para leer los gráficos. La velocidad ganada entre dos instantes equivale al área con signo bajo la curva a(t) entre esos instantes. Una región positiva suma a la velocidad; una negativa resta. Al dibujar un pulso triangular que sube de 0 a 4 m/s² en 3 s y luego vuelve a 0 — un triángulo de base 3 s y altura 4 m/s² — el área es ½·3·4 = 6 m/s, y el indicador v(t) en t = 3 s confirma una ganancia neta de 6 m/s sobre la velocidad inicial.
El gráfico de posición acumula el área bajo v(t) con la misma lógica. Si la velocidad sube linealmente de 0 a 6 m/s en 3 s (como en el ejemplo del pulso triangular), el área bajo v(t) de 0 a 3 s es ½·3·6 = 9 m, y el indicador x(t) en t = 3 s confirma un desplazamiento de 9 m. Cada rasgo del perfil a(t) dibujado se propaga a través de las dos integrales, convirtiendo la simulación en una visualización directa del teorema fundamental del cálculo aplicado al movimiento.
Ecuaciones clave
La aceleración es la tasa a la que cambia la velocidad. Cuando a(t) no es constante, esta derivada toma un valor distinto en cada instante. Dibujar una curva en el lienzo de aceleración equivale a especificar el valor de dv/dt en cada tiempo t del recorrido.
La velocidad en el tiempo t es igual a la velocidad inicial más el área acumulada bajo la curva a(t) de 0 a t. Con un pulso triangular de base 3 s y altura 4 m/s² (área = 6 m/s) y v₀ = 0, la fórmula predice v(3) = 0 + 6 = 6 m/s. El indicador de velocidad de la simulación en t = 3 s coincide con este valor.
La posición en el tiempo t equivale a la posición inicial más el área acumulada bajo v(t). Continuando con el pulso triangular: la velocidad sube linealmente de 0 a 6 m/s en 3 s, dando un área triangular de ½·3·6 = 9 m. Con x₀ = 0, la fórmula predice x(3) = 9 m. El indicador de posición de la simulación en t = 3 s confirma este resultado.
La simulación avanza la velocidad multiplicando el valor actual de aceleración por el paso de tiempo Δt y sumándolo al total acumulado. Con a(t) = 2 m/s² y Δt = 0,05 s, cada paso añade 0,10 m/s. Tras 20 pasos (t = 1 s) la velocidad acumulada es 2,00 m/s, coincidiendo con el resultado analítico porque la aceleración es constante en ese segmento.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| a(t) | Aceleración | m/s² | Tasa de cambio de la velocidad que varía en el tiempo; la curva dibujada por el usuario |
| v(t) | Velocidad | m/s | Rapidez y dirección en el tiempo t; primera integral de a(t) |
| x(t) | Posición | m | Desplazamiento desde el origen en el tiempo t; segunda integral de a(t) |
| v₀ | Velocidad inicial | m/s | Velocidad en t = 0; define la ordenada al origen del gráfico v(t) |
| x₀ | Posición inicial | m | Posición en t = 0; define la ordenada al origen del gráfico x(t) |
| Δt | Paso de tiempo | s | Intervalo de integración; valores menores producen mayor precisión numérica |
Ejemplos del mundo real
¿Cómo modelan los ingenieros el empuje variable de un cohete durante el lanzamiento?
El empuje de un cohete no es constante: el propelente se consume, la presión atmosférica cae con la altitud y el acelerador del motor varía según la fase de la misión. Los ingenieros expresan el empuje como función del tiempo, lo dividen entre la masa instantánea —que disminuye a medida que se consume el propelente— e integran el perfil de aceleración resultante para obtener velocidad y posición.
El cohete Saturno V produjo cerca de 33.000 kN en el encendido, y su aceleración pasó de aproximadamente 14 m/s² en el despegue a cerca de 40 m/s² justo antes de la separación de etapas, a medida que la masa cayó de unos 2.300.000 kg a 750.000 kg en 150 s — un perfil marcadamente no constante. La simulación reproduce esa misma lógica al integrar numéricamente la curva dibujada en el lienzo.
Al dibujar una rampa creciente en el lienzo de aceleración y pulsar Iniciar, el gráfico de velocidad produce una curva que se dobla hacia arriba en lugar de crecer linealmente, tal como ocurrió en la traza de velocidad del Saturno V. El área bajo la curva a(t) dibujada coincide con la velocidad final que muestra el gráfico v(t), confirmando la relación integral en cada momento del quemado simulado.
¿Por qué varía la aceleración de un automóvil durante una arrancada a fondo?
Un automóvil que acelera a fondo desde el reposo no mantiene una aceleración fija porque la curva de torque del motor, los cambios de marcha y la resistencia aerodinámica evolucionan con la velocidad. A bajas velocidades la resistencia es despreciable y el torque está cerca del máximo, por lo que la aceleración es mayor. A medida que la velocidad crece, la resistencia aumenta con el cuadrado de la velocidad mientras que la fuerza disponible cae en marchas más altas, y la aceleración disminuye.
El perfil neto es una curva decreciente y el gráfico velocidad-tiempo resulta cóncavo en vez de lineal. Al dibujar una curva suavemente descendente en el lienzo — comenzando cerca de 4 m/s² y terminando cerca de 1 m/s² en 10 s — y pulsar Iniciar, el gráfico v(t) sube con rapidez al principio y luego se aplana, reproduciendo el carácter de la traza de velocidad de un vehículo real.
El gráfico de posición acumula el área bajo esa curva de velocidad cóncava, lo que explica por qué el desplazamiento crece con rapidez en los primeros segundos y luego de forma más moderada al final del recorrido. La simulación hace visible esa acumulación en dos etapas en los paneles v(t) y x(t) de forma simultánea.
¿Cómo registra un sismógrafo el movimiento del suelo como señal de aceleración variable?
Un sismógrafo mide directamente la aceleración del suelo: la masa dentro del instrumento resiste el movimiento del terreno y el desplazamiento relativo es proporcional a dicha aceleración. Durante un sismo el registro de aceleración del suelo —llamado acelerograma— oscila de forma irregular durante decenas de segundos con amplitudes que crecen, alcanzan un máximo y decaen.
Los ingenieros estructurales integran ese acelerograma una vez para obtener la velocidad del suelo y dos veces para obtener el desplazamiento, y luego usan las tres trazas para evaluar cómo respondería un edificio o un puente. Al dibujar una curva oscilante e irregular en el lienzo de aceleración y pulsar Iniciar, el gráfico de velocidad muestra el efecto acumulado de cada pulso: un pulso positivo suma área a la velocidad y uno negativo la resta.
Con un perfil a(t) simétrico cuyo promedio es cero en todo el recorrido, el gráfico v(t) de la simulación regresa hacia su valor inicial, reproduciendo la condición de desplazamiento neto cero que los eventos sísmicos bien registrados satisfacen a lo largo de un ciclo completo de oscilación. El panel x(t) muestra entonces el historial de desplazamiento del suelo como la doble integral del perfil dibujado.
Lecturas adicionales
- Colisiones elásticas — conservación del momento lineal y la energía cinética en impactos entre dos cuerpos; un caso contrastante donde la magnitud central es el impulso y no una integral que varía con el tiempo.
- Movimiento de proyectiles — cinemática bidimensional bajo aceleración gravitacional constante; la referencia base para entender por qué la aceleración variable produce trayectorias cualitativamente distintas.