Velocidad de escape · FísicaFórmula de velocidad de escape v = √(2GM/r)
Introducción
La velocidad de escape es la rapidez umbral a la cual un proyectil sin propulsión, disparado verticalmente desde la superficie de un cuerpo masivo, es apenas lo bastante rápido para alejarse para siempre en lugar de regresar. El número depende de solo dos cosas: cuán masivo es el cuerpo y cuán compacto. El simulador fija el planeta a la masa de la Tierra y permite variar el radio, mostrando el umbral resultante como una lectura en vivo etiquetada vesc junto al deslizador de rapidez de lanzamiento.
El umbral importa porque clasifica cada trayectoria sin propulsión en uno de dos regímenes cualitativos. Por debajo de él el proyectil queda ligado, traza un arco finito y vuelve a la superficie; en él o por encima escapa y continúa hacia afuera indefinidamente. Los planificadores de misiones usan el mismo número para decidir cuánto delta-v necesita una etapa superior para abandonar un planeta, y los astrónomos lo usan para decidir qué gases puede retener un planeta a lo largo del tiempo geológico.
La intuición insiste en que añadir más masa al planeta a radio fijo es lo que hace difícil abandonarlo, mientras que reducir el radio a masa fija solo reordena la misma atracción. Las lecturas dicen lo contrario. Con Radio del Planeta en 6371 km la lectura de vesc da 11186 m/s; bajar el deslizador a 3000 km, con la misma masa, empuja vesc por encima de 16 000 m/s. La compacidad, no la masa por sí sola, gobierna el umbral de escape.
La física explicada
El escape de un planeta es una pregunta sobre el signo de la energía mecánica total del proyectil en el lanzamiento, no sobre su rapidez aislada. La energía total por unidad de masa en la superficie es E/m = ½·v² − G·M/R, la suma de un término cinético positivo y un término potencial gravitatorio negativo. Si E es negativa el proyectil queda ligado: su energía cinética se agotará en algún punto antes del infinito y el objeto caerá de vuelta. Si E es cero o positiva el proyectil alcanza distancias arbitrariamente grandes con rapidez residual no negativa, sin invertirse jamás.
El simulador hace esta dicotomía directamente observable. Con Radio del Planeta en 6371 km, la lectura de vesc muestra 11186 m/s, la rapidez de lanzamiento a la cual E vale exactamente cero. Fijar Rapidez de Lanzamiento en 8000 m/s vuelve E negativa; la lectura de Rapidez cae de manera sostenida mientras el proyectil sube, la lectura de Altura alcanza un pico cerca de 6670 km, y el proyectil se invierte y vuelve a impactar la superficie. Subir Rapidez de Lanzamiento a 11200 m/s, apenas por encima del umbral, invierte el signo de E. La misma lectura de Rapidez sigue cayendo, pero nunca llega a cero antes del tope de simulación de 120 s, y la Altura asciende más allá de 13 000 km sin ningún signo de inversión.
Algebraicamente, igualando E = 0 en el lanzamiento y resolviendo para v se obtiene la forma cerrada de la velocidad de escape vesc = sqrt(2·G·M/R). Sobresalen dos rasgos. Primero, la masa m del proyectil se cancela por completo en la ecuación de energía, así que un guijarro de 1 kg y un satélite de 1000 kg comparten el mismo umbral; la predicción del simulador es independiente de cualquier masa de carga útil. Segundo, la fórmula escala con sqrt(M/R), de modo que reducir R a la mitad a M fijo eleva vesc por sqrt(2) ≈ 1,41. Eso es exactamente lo que hace el deslizador: arrastrar Radio del Planeta de 6371 km a 3000 km aproximadamente duplica la razón M/R y empuja la lectura de vesc por encima de 16 000 m/s.
Ecuaciones clave
Para la corrida por defecto con Radio del Planeta R = 6,371 × 10⁶ m, masa terrestre M = 5,972 × 10²⁴ kg y Rapidez de Lanzamiento v₀ = 8000 m/s: E/m = ½·(8000)² − 6,674 × 10⁻¹¹ · 5,972 × 10²⁴ / 6,371 × 10⁶ ≈ 3,20 × 10⁷ − 6,26 × 10⁷ ≈ −3,06 × 10⁷ J/kg. Una E negativa predice una trayectoria ligada, lo que coincide con el comportamiento de subida-y-regreso del simulador.
Sustituyendo los mismos R y M: vesc = sqrt(2 · 6,674 × 10⁻¹¹ · 5,972 × 10²⁴ / 6,371 × 10⁶) ≈ 11186 m/s. La lectura de vesc del simulador reporta exactamente 11186 m/s para estas posiciones del deslizador, coincidiendo con la predicción cerrada hasta la precisión mostrada.
Usando E/m = −3,06 × 10⁷ J/kg de la corrida a 8000 m/s: rmax = 3,986 × 10¹⁴ / 3,06 × 10⁷ ≈ 1,304 × 10⁷ m. Restando el radio del planeta se obtiene una altura de apogeo hmax ≈ 6670 km sobre la superficie, hasta la cual asciende la lectura de Altura del simulador antes de que el proyectil se invierta.
Con g = G·M/R² ≈ 9,82 m/s² para la masa terrestre por defecto y un radio de 6371 km: vesc = sqrt(2 · 9,82 · 6,371 × 10⁶) ≈ 11186 m/s, idéntica a la fórmula anterior. Esta reescritura muestra por qué reducir R a la mitad a M fijo eleva vesc: tanto g (que escala como 1/R²) como R mismo aparecen dentro de la raíz cuadrada.
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| vesc | Velocidad de escape | m/s | Rapidez umbral a la cual la energía total E vale cero |
| v | Rapidez de lanzamiento | m/s | Rapidez radial inicial del proyectil en la superficie |
| M | Masa del planeta | kg | Masa del cuerpo central; fija en masa terrestre aquí |
| R | Radio del planeta | m | Distancia del centro al punto de lanzamiento |
| r | Distancia radial | m | Distancia del centro en cualquier punto del vuelo |
| G | Constante gravitatoria | N·m²/kg² | Constante universal; G ≈ 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² |
| E | Energía mecánica total | J | Suma de cinética y potencial gravitatoria |
| g | Gravedad superficial | m/s² | Aceleración gravitatoria en r = R |
Ejemplos del mundo real
¿Por qué una etapa superior necesita 11,2 km/s para abandonar la Tierra, mientras que un Saturno V despega desde el reposo?
La velocidad de escape se define para un proyectil sin propulsión liberado en la superficie: una bala de cañón, una piedra pateada o una etapa superior agotada tras el corte de motor. Un Saturno V en la plataforma no necesita alcanzar 11,2 km/s antes de despegar porque los motores de su primera etapa siguen agregando energía durante todo el ascenso. La energía mecánica total sigue subiendo mientras actúa el empuje; el cohete solo tiene que estar en o por encima de la rapidez de escape en el momento en que sus motores dejan de disparar.
El simulador ilustra directamente el caso del lanzamiento sin propulsión. Con Radio del Planeta en 6371 km la lectura de vesc muestra 11186 m/s, y una Rapidez de Lanzamiento de 8000 m/s (muy por debajo del umbral) produce una trayectoria ligada cuya lectura de Altura alcanza un pico cerca de 6670 km y cae de vuelta. Subir Rapidez de Lanzamiento a 11200 m/s, apenas por encima de la lectura, produce una trayectoria de escape cuya Altura asciende más allá de 13 000 km y sigue subiendo en el tope de tiempo de 120 s. Los planificadores de misiones dimensionan el delta-v de cada etapa para que la rapidez residual al corte de motor se sitúe por encima de este umbral con un margen cómodo.
¿Cómo puede la Luna retener rocas mientras pierde casi todos sus gases?
El escape atmosférico es el mismo criterio energético aplicado a moléculas individuales de gas. Una molécula que se mueve más rápido que la velocidad de escape local en la cima de la atmósfera tiene una probabilidad real de marcharse a lo largo de muchas colisiones; una mucho más lenta queda ligada. La velocidad de escape de la Luna es de unos 2380 m/s, lo bastante baja como para que el hidrógeno y el helio a cualquier temperatura plausible tengan rapideces térmicas muy por encima de ella, así que la Luna nunca acumuló una atmósfera significativa. Las rocas sólidas, con rapidez térmica efectivamente cero a escala macroscópica, se quedan en su sitio.
El simulador aclara por qué el umbral de la Luna es tan bajo. La Tierra y la Luna difieren tanto en masa como en radio, pero vesc = sqrt(2·G·M/R) es más sensible a la razón M/R que a cualquiera de los dos factores por separado. Con Radio del Planeta en 6371 km y masa terrestre, la lectura de vesc es 11186 m/s; subir Radio del Planeta a su máximo de 12 000 km a masa terrestre fija reduce vesc por debajo de 8200 m/s, aun cuando el cuerpo más grande es menos denso. Menor densidad a masa fija significa un pozo gravitatorio más extendido del que es más fácil salir.
¿Por qué el horizonte de eventos de un agujero negro se ubica exactamente donde la velocidad de escape iguala a la velocidad de la luz?
Sustituyendo vesc = c en la fórmula newtoniana y resolviendo para R se obtiene Rs = 2·G·M/c², el radio de Schwarzschild. Para una masa solar esto da cerca de 3000 m. La derivación completa de la relatividad general da la misma expresión, una feliz coincidencia de la aproximación newtoniana que hace del radio de Schwarzschild una intuición útil para entender qué es realmente un horizonte de eventos, aun cuando la geometría real más allá del horizonte requiere relatividad general para describirse.
El barrido de compacidad del simulador hace tangible el límite dentro de la física newtoniana. Con masa terrestre y Radio del Planeta en los 6371 km por defecto, la lectura de vesc es 11186 m/s, muy por debajo de la velocidad de la luz. Bajar Radio del Planeta hacia su mínimo de 3000 km más que duplica M/R y empuja vesc por encima de 16 000 m/s. Extrapolar la misma tendencia hasta un radio de 9 mm para un cuerpo de masa terrestre elevaría vesc hasta c: el radio al cual la Tierra, si se comprimiera hasta ese punto, se convertiría en un agujero negro.
Lecturas adicionales
- Movimiento de proyectil: el límite de gravedad constante del mismo marco energético, válido cuando la rapidez de lanzamiento es pequeña comparada con vesc.