Resorte amortiguado
Introducción
Un sistema masa–resorte es uno de los modelos más fundamentales de toda la física. En un mundo ideal sin fricción ni resistencia del aire, una masa unida a un resorte oscilaría para siempre, balanceándose de un lado a otro con amplitud perfectamente constante. En la realidad, las fuerzas resistivas siempre están presentes, robándole energía al sistema gradualmente y haciendo que las oscilaciones se apaguen. Este proceso se llama amortiguamiento, y entenderlo es esencial para los ingenieros y científicos que trabajan con cualquier cosa que vibre — desde suspensiones de carros hasta instrumentos musicales y edificios resistentes a sismos.
Dependiendo de qué tan fuerte es el amortiguamiento respecto a la rigidez del resorte y la masa, un sistema masa–resorte amortiguado puede comportarse de tres maneras cualitativamente distintas. Puede oscilar con amplitud decreciente (subamortiguado), regresar al reposo lo más rápido posible sin oscilar (críticamente amortiguado), o arrastrarse de regreso al equilibrio tan lentamente que no oscila nunca (sobreamortiguado). Cada régimen tiene importancia práctica, y la frontera entre ellos está definida con precisión por la física.
La física explicada
Una masa en un resorte experimenta dos fuerzas en el modelo amortiguado. La primera es la fuerza restauradora del resorte, que siempre apunta de regreso a la posición de equilibrio y tiene una magnitud proporcional al desplazamiento — esta es la ley de Hooke. La segunda es la fuerza de amortiguamiento, que se opone a la velocidad de la masa y tiene magnitud proporcional a la rapidez. Este modelo lineal de amortiguamiento a veces se llama amortiguamiento viscoso porque describe con precisión una masa moviéndose a través de un fluido, aunque también es una buena aproximación para muchas otras situaciones resistivas.
Combinar estas dos fuerzas con la segunda ley de Newton da una ecuación diferencial lineal de segundo orden en el desplazamiento x. El carácter de la solución depende por completo de la relación entre el coeficiente de amortiguamiento b, la constante del resorte k y la masa m. Los físicos definen una frecuencia angular natural ω₀ = sqrt(k/m), que es la frecuencia a la cual el sistema oscilaría sin amortiguamiento. También definen una razón de amortiguamiento ζ (la letra griega zeta) como b dividida por el coeficiente de amortiguamiento crítico 2·sqrt(k·m). Este único número adimensional determina el régimen.
Cuando ζ es menor que 1, el sistema está subamortiguado. La masa oscila de un lado a otro, pero cada balanceo sucesivo es más pequeño que el anterior, con la amplitud decayendo exponencialmente. La frecuencia de oscilación es ligeramente menor que ω₀ porque el amortiguamiento frena el movimiento. Cuando ζ es exactamente igual a 1, el sistema está críticamente amortiguado — este es el caso especial en el que el sistema regresa al equilibrio en el tiempo más corto posible sin pasarse. Cuando ζ es mayor que 1, el sistema está sobreamortiguado; regresa al reposo lentamente, acercándose al equilibrio asintóticamente desde un lado sin cruzarlo nunca.
El amortiguamiento crítico tiene particular importancia en ingeniería. Los amortiguadores de un carro, por ejemplo, se ajustan idealmente cerca del amortiguamiento crítico para que el carro se asiente rápido tras un bache en lugar de rebotar repetidamente (subamortiguado) o tardar mucho en recuperarse (sobreamortiguado). De manera similar, la aguja de un instrumento de medición analógico suele estar críticamente amortiguada para que se mueva pronto a la lectura correcta sin oscilar a su alrededor.
Ecuaciones clave
Variables clave
| Símbolo | Nombre | Unidad | Significado |
|---|---|---|---|
| x | Desplazamiento | m | Distancia de la masa desde su posición de equilibrio |
| m | Masa | kg | Masa del objeto que oscila unido al resorte |
| k | Constante del resorte | N/m | Rigidez del resorte; mayor k significa fuerza restauradora más fuerte |
| b | Coeficiente de amortiguamiento | N·s/m | Intensidad de la fuerza resistiva; proporcional a la velocidad |
| ω₀ | Frecuencia angular natural | rad/s | Frecuencia de oscilación sin amortiguamiento; sqrt(k/m) |
| ζ | Razón de amortiguamiento | adimensional | Determina el régimen: <1 sub, =1 crítico, >1 sobre |
| ω_d | Frecuencia amortiguada | rad/s | Frecuencia de oscilación efectiva en el régimen subamortiguado |
| A | Amplitud inicial | m | Magnitud del desplazamiento al soltar la masa |
Ejemplos del mundo real
- Suspensión de carros: los amortiguadores de un carro están ajustados cerca del amortiguamiento crítico para que el vehículo se asiente rápido tras un bache sin rebotar repetidamente. Demasiado poco amortiguamiento da un viaje incómodo; demasiado lo vuelve duro y lento.
- Instrumentos de medición: agujas de voltímetros y manómetros analógicos se diseñan críticamente amortiguadas para que apunten al valor correcto sin oscilar.
- Edificios resistentes a sismos: los rascacielos modernos incorporan amortiguadores de masa sintonizada que disipan energía vibratoria, evitando que la oscilación inducida por el viento o por un sismo crezca peligrosamente.
- Cierres de puertas y bisagras hidráulicas: los cierres de puerta hidráulicos están sobreamortiguados para que la puerta se cierre suavemente sin azotar.
Cómo funciona la simulación
Cuatro deslizadores te permiten fijar la constante del resorte (N/m), la masa (kg), el coeficiente de amortiguamiento y el desplazamiento inicial. Al pulsar Iniciar la masa se libera desde el desplazamiento inicial. La simulación integra la ecuación lineal amortiguada en cada paso de tiempo, así que el movimiento es suave y preciso en los tres regímenes. Las lecturas muestran el tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la razón de amortiguamiento ζ calculada automáticamente — observa cómo cambia el régimen cualitativamente al cruzar ζ = 1.
Lecturas adicionales
- Oscilaciones forzadas y resonancia — qué ocurre cuando se excita un sistema amortiguado a su frecuencia natural
- Factor Q de un oscilador — una medida adimensional de qué tan «afilada» es la respuesta de resonancia
- Amortiguadores de masa sintonizada en estructuras civiles — el caso famoso del Taipei 101 y su amortiguador de péndulo
- Análisis de Fourier de respuestas amortiguadas — descomponer cualquier movimiento amortiguado complejo en componentes de frecuencia simples